Номер 67, страница 172 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 67, страница 172.

Условие.

22.67. Перпендикуляр, опущенный из точки пересечения диагоналей ромба на его сторону, делит её на отрезки длиной 3 см и 12 см. Найдите большую диагональ ромба.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дан ромб $ABCD$, диагонали которого $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Опустим из точки $O$ перпендикуляр $OH$ на сторону $AD$. По условию, точка $H$ делит сторону $AD$ на отрезки $AH = 3$ см и $HD = 12$ см.

1. Найдем длину стороны ромба. Так как все стороны ромба равны, то длина стороны $AD$ равна сумме длин отрезков $AH$ и $HD$:
$a = AD = AH + HD = 3 + 12 = 15$ см.

2. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, следовательно, треугольник $AOD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O$. Отрезки $AO$ и $OD$ — это половины диагоналей ромба, а сторона ромба $AD$ — гипотенуза этого треугольника. Перпендикуляр $OH$ является высотой, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу.

3. В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Для катета $AO$ его проекцией на гипотенузу $AD$ является отрезок $AH$. Найдем длину половины диагонали $AO$:
$AO^2 = AD \cdot AH$
$AO^2 = 15 \cdot 3 = 45$
$AO = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$ см.

Для катета $OD$ его проекцией на гипотенузу $AD$ является отрезок $HD$. Найдем длину половины диагонали $OD$:
$OD^2 = AD \cdot HD$
$OD^2 = 15 \cdot 12 = 180$
$OD = \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}$ см.

4. Теперь найдем длины полных диагоналей ромба. Точка пересечения диагоналей делит их пополам, поэтому:
Диагональ $AC = 2 \cdot AO = 2 \cdot 3\sqrt{5} = 6\sqrt{5}$ см.
Диагональ $BD = 2 \cdot OD = 2 \cdot 6\sqrt{5} = 12\sqrt{5}$ см.

5. Сравним длины диагоналей: $12\sqrt{5}$ см $> 6\sqrt{5}$ см. Следовательно, большая диагональ ромба равна $12\sqrt{5}$ см.

Ответ: $12\sqrt{5}$ см.