Номер 66, страница 172 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 66, страница 172.

Условие.

22.66. Перпендикуляр, опущенный из точки пересечения диагоналей ромба на его сторону, делит её на два отрезка, один из которых на 5 см больше другого. Найдите периметр ромба, если длина этого перпендикуляра равна 6 см.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дан ромб $ABCD$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Из точки $O$ на сторону $AB$ опущен перпендикуляр $OH$.

По условию задачи, длина перпендикуляра $OH = 6$ см. Точка $H$ делит сторону $AB$ на два отрезка, $AH$ и $HB$. Один из отрезков на 5 см больше другого. Обозначим длину меньшего отрезка $HB$ как $x$ см, тогда длина большего отрезка $AH$ будет $x + 5$ см.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, следовательно, треугольник $\triangle AOB$ является прямоугольным ($\angle AOB = 90^\circ$). В этом треугольнике $OH$ является высотой, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе $AB$.

В прямоугольном треугольнике квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу (или произведению отрезков, на которые высота делит гипотенузу). Это свойство выражается формулой: $OH^2 = AH \cdot HB$.

Подставим известные данные в эту формулу и составим уравнение:

$6^2 = (x + 5) \cdot x$

$36 = x^2 + 5x$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$x^2 + 5x - 36 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета: произведение корней равно $-36$, а их сумма равна $-5$. Подбором находим корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -9$.

Так как $x$ представляет собой длину отрезка, эта величина не может быть отрицательной. Следовательно, корень $x = -9$ не является решением задачи. Принимаем $x = 4$.

Теперь мы можем найти длины отрезков, на которые перпендикуляр делит сторону ромба:

$HB = x = 4$ см.

$AH = x + 5 = 4 + 5 = 9$ см.

Длина стороны ромба $a$ равна сумме длин этих отрезков:

$a = AB = AH + HB = 9 + 4 = 13$ см.

Периметр ромба $P$ равен учетверенной длине его стороны, так как все стороны ромба равны.

$P = 4a = 4 \cdot 13 = 52$ см.

Ответ: 52 см.