Номер 72, страница 173 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 72, страница 173.

Условие.

22.72. Радиус окружности, вписанной в равнобокую трапецию, равен $R$, а один из углов трапеции – $45^\circ$. Найдите площадь трапеции.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана равнобокая трапеция, в которую вписана окружность радиуса $R$. Один из углов трапеции равен $45^\circ$. Так как трапеция равнобокая, её углы при основаниях равны. Угол $45^\circ$ является острым, следовательно, это угол при большем основании.

1. Найдём высоту трапеции. Высота трапеции, в которую можно вписать окружность, равна диаметру этой окружности. Обозначим высоту как $h$.
$h = 2R$.

2. Найдём боковую сторону трапеции. Проведём высоту из вершины тупого угла к большему основанию. Получим прямоугольный треугольник, одним из катетов которого является высота трапеции $h$, а гипотенузой — боковая сторона трапеции $c$. Угол при основании этого треугольника равен $45^\circ$.
Из определения синуса в этом прямоугольном треугольнике:
$\sin(45^\circ) = \frac{h}{c}$
Отсюда выразим боковую сторону $c$:
$c = \frac{h}{\sin(45^\circ)} = \frac{2R}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4R}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}R$.

3. Найдём площадь трапеции. Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания трапеции.
По свойству описанного четырехугольника (трапеции, в которую вписана окружность), сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. Так как трапеция равнобокая, то $a+b = c+c = 2c$.
Подставим найденное значение $c$:
$a+b = 2 \cdot (2\sqrt{2}R) = 4\sqrt{2}R$.
Теперь можем вычислить площадь:
$S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{4\sqrt{2}R}{2} \cdot 2R = 2\sqrt{2}R \cdot 2R = 4\sqrt{2}R^2$.

Ответ: $4\sqrt{2}R^2$.