Номер 75, страница 173 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 75, страница 173.

Условие.

22.75. Диагональ равнобокой трапеции делит высоту, проведённую из вершины тупого угла, на отрезки длиной 10 см и 8 см. Найдите площадь трапеции, если её меньшее основание равно боковой стороне трапеции.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, причем $AD > BC$. По условию, меньшее основание равно боковой стороне, то есть $BC = AB = CD$. Обозначим эту длину как $x$.

Проведем высоту $BM$ из вершины тупого угла $B$ к большему основанию $AD$. Длина этой высоты $h = BM$. Диагональ $AC$ пересекает высоту $BM$ в точке $K$.

По условию, диагональ делит высоту на отрезки длиной 10 см и 8 см. Таким образом, вся высота трапеции равна $h = BM = 10 + 8 = 18$ см. Точка $K$ лежит между вершиной $B$ и основанием $AD$. Сегмент, прилегающий к основанию, короче, поэтому $KM = 8$ см, а $BK = 10$ см.

Рассмотрим треугольники $ΔAKM$ и $ΔCKB$.

1. $∠AKM = ∠CKB$ как вертикальные углы.
2. $∠KAM = ∠KCB$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$.

Следовательно, треугольники $ΔAKM$ и $ΔCKB$ подобны по двум углам (признак подобия АА).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:

$ \frac{AM}{BC} = \frac{KM}{KB} $

Подставим известные значения:

$ \frac{AM}{x} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} $

Отсюда выразим $AM$:

$ AM = \frac{4}{5}x $

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ΔABM$ (так как $BM$ — высота, $∠AMB = 90°$). По теореме Пифагора:

$ AB^2 = AM^2 + BM^2 $

Подставим в это уравнение известные нам величины: $AB = x$, $AM = \frac{4}{5}x$, $BM = 18$ см.

$ x^2 = \left(\frac{4}{5}x\right)^2 + 18^2 $

$ x^2 = \frac{16}{25}x^2 + 324 $

Перенесем слагаемое с $x^2$ в левую часть:

$ x^2 - \frac{16}{25}x^2 = 324 $

$ \frac{9}{25}x^2 = 324 $

$ x^2 = \frac{324 \cdot 25}{9} $

$ x^2 = 36 \cdot 25 $

$ x = \sqrt{36 \cdot 25} = 6 \cdot 5 = 30 $

Таким образом, длина меньшего основания $BC = x = 30$ см.

Найдем длину большего основания $AD$. В равнобокой трапеции, если провести вторую высоту $CH$, то отрезок $MH = BC = x$, а отрезок $AM = HD$.

Мы нашли $AM = \frac{4}{5}x = \frac{4}{5} \cdot 30 = 24$ см.

Тогда большее основание $AD$ равно:

$ AD = AM + MH + HD = AM + BC + AM = 2 \cdot AM + BC $

$ AD = 2 \cdot 24 + 30 = 48 + 30 = 78 $ см.

Теперь мы можем найти площадь трапеции по формуле:

$ S = \frac{a+b}{2}h $

где $a = BC$, $b = AD$, $h = BM$.

$ S = \frac{30 + 78}{2} \cdot 18 = \frac{108}{2} \cdot 18 = 54 \cdot 18 = 972 $ см².

Ответ: 972 см².