Номер 76, страница 173 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 76, страница 173.

Условие.

22.76. Большая диагональ прямоугольной трапеции делит высоту, проведённую из вершины тупого угла, на отрезки длиной 20 см и 12 см. Большая боковая сторона трапеции равна её меньшему основанию. Найдите площадь трапеции.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана прямоугольная трапеция ABCD, где ∠A = ∠B = 90°, AD и BC — основания, причём AD > BC. AB — меньшая боковая сторона (и высота), CD — большая боковая сторона.

Проведём высоту CH из вершины тупого угла C на большее основание AD. Так как трапеция прямоугольная, то ABCH — прямоугольник, и высота трапеции h = AB = CH.

Большая диагональ трапеции — это BD. Она пересекает высоту CH в точке K. По условию, диагональ делит высоту на отрезки длиной 20 см и 12 см. Таким образом, полная высота трапеции CH = 20 + 12 = 32 см.

Также по условию большая боковая сторона равна меньшему основанию: CD = BC. Обозначим эту длину как x, то есть BC = CD = x.

Нахождение оснований трапеции

Рассмотрим треугольники ΔBCK и ΔDHK. Так как основания трапеции параллельны (BC || AD), то BC || HD. Прямая BD является секущей.

• ∠KBC = ∠KDH (как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей BD).
• ∠BKC = ∠DKH (как вертикальные углы).

Следовательно, треугольники ΔBCK и ΔDHK подобны по двум углам. Из подобия следует соотношение сторон:
$\frac{BC}{HD} = \frac{CK}{KH}$

Рассмотрим два возможных случая для отрезков CK и KH.

1. Пусть CK = 20 см и KH = 12 см.
Тогда соотношение сторон: $\frac{BC}{HD} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$.
Отсюда $HD = \frac{3}{5} BC = \frac{3}{5}x$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔCHD (∠H = 90°). По теореме Пифагора: $CH^2 + HD^2 = CD^2$.
Подставим известные значения:
$32^2 + (\frac{3}{5}x)^2 = x^2$
$1024 + \frac{9}{25}x^2 = x^2$
$1024 = x^2 - \frac{9}{25}x^2$
$1024 = \frac{16}{25}x^2$
$x^2 = \frac{1024 \cdot 25}{16} = 64 \cdot 25 = 1600$
$x = \sqrt{1600} = 40$ см.
Этот случай возможен. Итак, BC = 40 см. Тогда $HD = \frac{3}{5} \cdot 40 = 24$ см.

2. Пусть CK = 12 см и KH = 20 см.
Тогда соотношение сторон: $\frac{BC}{HD} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$.
Отсюда $HD = \frac{5}{3} BC = \frac{5}{3}x$.
Снова применим теорему Пифагора к ΔCHD:
$32^2 + (\frac{5}{3}x)^2 = x^2$
$1024 + \frac{25}{9}x^2 = x^2$
$1024 = x^2 - \frac{25}{9}x^2$
$1024 = -\frac{16}{9}x^2$
Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным. Следовательно, этот случай невозможен.

Таким образом, мы однозначно определили, что меньшее основание BC = 40 см.
Так как ABCH — прямоугольник, то AH = BC = 40 см.
Теперь найдем большее основание AD:
AD = AH + HD = 40 + 24 = 64 см.

Нахождение площади трапеции

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где a и b — основания, h — высота.
Подставим найденные значения:
$a = AD = 64$ см
$b = BC = 40$ см
$h = CH = 32$ см
$S = \frac{64 + 40}{2} \cdot 32 = \frac{104}{2} \cdot 32 = 52 \cdot 32 = 1664$ см².
Ответ: 1664 см².