Номер 79, страница 173 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 79, страница 173.

Условие.

22.79. Окружность, вписанная в прямоугольную трапецию, делит точкой касания большую боковую сторону на отрезки длиной 8 см и 50 см.

Найдите периметр трапеции.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана прямоугольная трапеция, в которую вписана окружность. Обозначим трапецию $ABCD$, где $AB$ – меньшая боковая сторона, перпендикулярная основаниям $BC$ и $AD$ ($AB \perp AD$), а $CD$ – большая боковая сторона. Пусть $K$ – точка касания окружности со стороной $CD$.

По условию, точка $K$ делит сторону $CD$ на отрезки длиной 8 см и 50 см. Пусть $CK = 8$ см и $KD = 50$ см. Тогда длина большей боковой стороны $CD$ равна:

$CD = CK + KD = 8 + 50 = 58$ см.

Для решения задачи воспользуемся следующими свойствами:

1. В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны. Для нашей трапеции это означает: $AB + CD = BC + AD$.

2. Высота прямоугольной трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности. То есть, $AB = h = 2r$, где $r$ – радиус вписанной окружности.

3. Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.

Проведем из вершины $C$ высоту $CH$ к основанию $AD$. Мы получим прямоугольный треугольник $CHD$. В этом треугольнике:

• Гипотенуза $CD = 58$ см.
• Катет $CH$ равен высоте трапеции $AB$, следовательно, $CH = AB = 2r$.
• Катет $HD$ равен разности длин оснований: $HD = AD - BC$.

Выразим длины оснований $BC$ и $AD$ через радиус $r$, используя свойство касательных. Пусть точки касания на сторонах $BC$ и $AD$ – это $M$ и $N$ соответственно. Тогда:

$CM = CK = 8$ см.

$DN = DK = 50$ см.

Поскольку углы $A$ и $B$ прямые, отрезки касательных от этих вершин до точек касания равны радиусу окружности. То есть, отрезок от $B$ до точки касания на $BC$ равен $r$, и отрезок от $A$ до точки касания на $AD$ равен $r$. Таким образом:

$BC = CM + r = 8 + r$

$AD = DN + r = 50 + r$

Теперь найдем длину катета $HD$:

$HD = AD - BC = (50 + r) - (8 + r) = 42$ см.

Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $CHD$ ($CH^2 + HD^2 = CD^2$):

$(2r)^2 + 42^2 = 58^2$

$4r^2 + 1764 = 3364$

$4r^2 = 3364 - 1764$

$4r^2 = 1600$

$r^2 = 400$

$r = \sqrt{400} = 20$ см.

Теперь мы можем найти высоту трапеции $AB$:

$AB = 2r = 2 \cdot 20 = 40$ см.

Периметр трапеции $P$ равен сумме длин всех ее сторон: $P = AB + BC + CD + AD$. Так как $AB + CD = BC + AD$, то периметр можно найти как $P = 2 \cdot (AB + CD)$.

$P = 2 \cdot (40 + 58) = 2 \cdot 98 = 196$ см.

Ответ: 196 см.