Номер 80, страница 173 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 80, страница 173.

Условие.

22.80. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, делит её большее основание на отрезки длиной 20 см и 25 см. Вычислите периметр трапеции.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, в которую вписана окружность. Пусть $\angle A = \angle B = 90^\circ$, $AD$ и $BC$ — основания, причем $AD$ — большее основание. $AB$ — высота трапеции.

Пусть $K$ — точка касания вписанной окружности с большим основанием $AD$. По условию, точка $K$ делит основание $AD$ на отрезки длиной 20 см и 25 см.

Длина большего основания $AD$ равна сумме длин этих отрезков:

$AD = 20 + 25 = 45$ см.

Для прямоугольной трапеции, описанной около окружности, радиус $r$ вписанной окружности равен отрезку большего основания, примыкающему к боковой стороне, перпендикулярной основаниям. Это следует из того, что если $O$ — центр окружности, а $P$ — точка касания на стороне $AB$, то четырехугольник $APOK$ является квадратом со стороной $r$. Таким образом, $AK = r$.

Высота прямоугольной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна диаметру этой окружности: $h = AB = 2r$.

Рассмотрим два возможных случая:

1. $AK = 20$ см и $KD = 25$ см.
2. $AK = 25$ см и $KD = 20$ см.

Проверим оба случая.

Случай 1: $AK = 20$ см и $KD = 25$ см.

В этом случае радиус вписанной окружности $r = AK = 20$ см.

Тогда высота трапеции $AB = 2r = 2 \cdot 20 = 40$ см.

Используем свойство отрезков касательных, проведенных из одной вершины к окружности: отрезки касательных от вершины до точек касания равны.

Пусть точки касания на сторонах $BC$ и $CD$ — это $M$ и $N$ соответственно. Тогда:

• $AK = 20$ см
• $KD = DN = 25$ см
• $BM = AK = r = 20$ см (т.к. $ABMO$ - квадрат)

Пусть $CM = CN = x$.

Тогда стороны трапеции равны:

• $AD = 45$ см
• $AB = 40$ см
• $BC = BM + MC = 20 + x$
• $CD = CN + ND = x + 25$

Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ к основанию $AD$. Получим прямоугольный треугольник $CHD$.

$CH = AB = 40$ см.

$HD = AD - AH = AD - BC = 45 - (20 + x) = 25 - x$.

По теореме Пифагора для треугольника $CHD$: $CD^2 = CH^2 + HD^2$.

$(x + 25)^2 = 40^2 + (25 - x)^2$

$x^2 + 50x + 625 = 1600 + 625 - 50x + x^2$

$100x = 1600$

$x = 16$ см.

Теперь найдем длины сторон $BC$ и $CD$:

$BC = 20 + 16 = 36$ см.

$CD = 16 + 25 = 41$ см.

В этом случае $AD = 45$ см, а $BC = 36$ см. Условие, что $AD$ — большее основание, выполняется.

Случай 2: $AK = 25$ см и $KD = 20$ см.

В этом случае $r = AK = 25$ см, высота $AB = 2r = 50$ см. По аналогии с первым случаем, $BC = 25 + x$, $CD = x + 20$. Высота $CH=50$. $HD = 45 - (25+x) = 20 - x$.

$(x+20)^2 = 50^2 + (20-x)^2$

$x^2 + 40x + 400 = 2500 + 400 - 40x + x^2$

$80x = 2500 \implies x = 31.25$ см.

Тогда $BC = 25 + 31.25 = 56.25$ см. Это противоречит условию, что $AD=45$ см является большим основанием. Следовательно, этот случай невозможен.

Возвращаемся к первому случаю. Мы нашли все стороны трапеции:

• $AB = 40$ см
• $BC = 36$ см
• $CD = 41$ см
• $AD = 45$ см

Периметр трапеции $P$ равен сумме длин всех ее сторон:

$P = AB + BC + CD + AD = 40 + 36 + 41 + 45 = 162$ см.

Также можно использовать свойство описанного четырехугольника: суммы длин противоположных сторон равны.

$AB + CD = BC + AD$

$40 + 41 = 36 + 45$

$81 = 81$ (Верно)

Периметр можно вычислить как $P = 2(AB + CD)$ или $P = 2(BC + AD)$:

$P = 2(40 + 41) = 2 \cdot 81 = 162$ см.

Ответ: 162 см.