Номер 77, страница 173 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 77, страница 173.

Условие.

22.77. Меньшая диагональ прямоугольной трапеции делит её тупой угол пополам, а другую диагональ делит в отношении $5:2$, считая от вершины острого угла. Найдите периметр трапеции, если её меньшая боковая сторона равна 12 см.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана прямоугольная трапеция ABCD, в которой основаниями являются AB и DC ($AB \parallel DC$), а боковыми сторонами — AD и BC, причём $AD \perp AB$. Таким образом, $\angle A = \angle D = 90^\circ$. AD — это меньшая боковая сторона (высота), и по условию её длина составляет $AD = 12$ см. В такой трапеции $\angle C$ — тупой, а $\angle B$ — острый.

Меньшая диагональ в прямоугольной трапеции соединяет вершину прямого угла с вершиной тупого угла, в нашем случае это диагональ AC. По условию, эта диагональ делит тупой угол C пополам, то есть является его биссектрисой. Отсюда следует, что $\angle DCA = \angle ACB$. Поскольку $AB \parallel DC$, углы $\angle DCA$ и $\angle CAB$ являются накрест лежащими при секущей AC, а значит, они равны: $\angle DCA = \angle CAB$. Сопоставляя эти два равенства, получаем, что $\angle ACB = \angle CAB$. Это означает, что треугольник ABC является равнобедренным, и его боковые стороны, прилежащие к основанию AC, равны: $AB = BC$.

Далее, по условию, диагональ AC делит другую диагональ BD в отношении $5:2$, считая от вершины острого угла B. Пусть O — точка пересечения диагоналей AC и BD. Тогда $BO:OD = 5:2$. Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$. Они подобны по трём углам, так как $\angle AOB = \angle COD$ (вертикальные), а остальные углы равны как накрест лежащие при параллельных прямых AB и DC и секущих AC и BD. Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон равно: $\frac{AB}{DC} = \frac{BO}{DO}$. Подставив известное отношение, получим $\frac{AB}{DC} = \frac{5}{2}$, или $AB = \frac{5}{2} DC$.

Теперь у нас есть система соотношений для сторон трапеции: $AB = BC$ и $AB = \frac{5}{2} DC$. Отсюда следует, что $BC = \frac{5}{2} DC$.

Для нахождения длин сторон опустим из вершины C высоту CH на основание AB. В прямоугольной трапеции высота CH равна меньшей боковой стороне AD, то есть $CH = 12$ см. Отрезок AH равен меньшему основанию DC. Тогда отрезок HB можно выразить как разность оснований: $HB = AB - AH = AB - DC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник CHB. По теореме Пифагора, $BC^2 = CH^2 + HB^2$. Подставим в это уравнение известные нам величины и соотношения, выразив все стороны через DC. Мы имеем: $BC = \frac{5}{2} DC$, $HB = AB - DC = \frac{5}{2} DC - DC = \frac{3}{2} DC$, и $CH = 12$. Получаем уравнение:

$(\frac{5}{2} DC)^2 = 12^2 + (\frac{3}{2} DC)^2$

$\frac{25}{4} DC^2 = 144 + \frac{9}{4} DC^2$

$\frac{25}{4} DC^2 - \frac{9}{4} DC^2 = 144$

$\frac{16}{4} DC^2 = 144$

$4 \cdot DC^2 = 144$

$DC^2 = 36$

$DC = 6$ см.

Зная, что $DC = 6$ см, находим остальные стороны: $AB = \frac{5}{2} \cdot 6 = 15$ см; так как $BC = AB$, то $BC = 15$ см; и $AD = 12$ см по условию.

Периметр трапеции P равен сумме длин всех её сторон:

$P = AB + BC + DC + AD = 15 + 15 + 6 + 12 = 48$ см.

Ответ: 48 см.