Номер 81, страница 173 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 81, страница 173.

Условие.

22.81. Центр окружности, описанной около трапеции, принадлежит большему основанию, а боковая сторона равна меньшему основанию. Найдите углы трапеции.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана трапеция $ABCD$, вписанная в окружность с центром $O$. Пусть $AD$ — большее основание, а $BC$ — меньшее.

Поскольку трапеция вписана в окружность, она является равнобокой. Это означает, что её боковые стороны равны ($AB = CD$) и углы при основаниях равны ($\angle A = \angle D$, $\angle B = \angle C$).

По условию, центр окружности $O$ принадлежит большему основанию $AD$. Это означает, что $AD$ является диаметром окружности. Пусть радиус окружности равен $R$, тогда $AD = 2R$. Так как точки $A, B, C, D$ лежат на окружности, то отрезки $OA, OB, OC, OD$ являются радиусами, и все они равны $R$.

По условию, боковая сторона равна меньшему основанию: $AB = BC$.Так как трапеция равнобокая, $AB = CD$. Следовательно, мы имеем равенство трех сторон: $AB = BC = CD$.

В окружности равные хорды стягивают равные центральные углы. Хордам $AB, BC, CD$ соответствуют центральные углы $\angle AOB, \angle BOC, \angle COD$. Из равенства хорд следует равенство этих углов:

$\angle AOB = \angle BOC = \angle COD$.

Точки $A, O, D$ лежат на одной прямой (диаметре), поэтому угол $\angle AOD$ является развёрнутым и равен $180^\circ$. Вершины $B$ и $C$ лежат по одну сторону от диаметра $AD$. Угол $\angle AOD$ складывается из трех центральных углов:

$\angle AOD = \angle AOB + \angle BOC + \angle COD = 180^\circ$.

Так как эти три угла равны, каждый из них равен:

$\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ$.

Теперь найдем углы трапеции.

Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$. Он является равнобедренным, так как $OA = OB = R$. Угол между этими сторонами $\angle AOB = 60^\circ$. Равнобедренный треугольник с углом $60^\circ$ является равносторонним. Следовательно, все углы треугольника $\triangle AOB$ равны $60^\circ$. В частности, $\angle OAB = 60^\circ$.

Угол трапеции при вершине $A$ совпадает с углом $\angle OAB$, то есть $\angle A = 60^\circ$.

Поскольку трапеция равнобокая, угол при вершине $D$ равен углу при вершине $A$:

$\angle D = \angle A = 60^\circ$.

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. Поэтому:

$\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Так как трапеция равнобокая, $\angle C = \angle B = 120^\circ$.

Таким образом, углы трапеции равны $60^\circ, 120^\circ, 120^\circ, 60^\circ$.

Ответ: Углы трапеции равны $60^\circ$ и $120^\circ$.