Номер 83, страница 174 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 83, страница 174.

Условие.

22.83. Диагональ равнобокой трапеции является биссектрисой её острого угла и перпендикулярна боковой стороне. Найдите площадь трапеции, если её меньшее основание равно $a$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, где $AD > BC$. По условию, меньшее основание $BC = a$. Диагональ $AC$ является биссектрисой острого угла $\angle BAD$ и перпендикулярна боковой стороне $CD$.

1. Обозначим $\angle CAD = \alpha$. Так как $AC$ — биссектриса угла $\angle BAD$, то $\angle BAC = \angle CAD = \alpha$. Таким образом, острый угол трапеции $\angle BAD = 2\alpha$.

2. Поскольку $BC \parallel AD$, углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ являются накрест лежащими при секущей $AC$. Следовательно, $\angle BCA = \angle CAD = \alpha$.

3. Рассмотрим треугольник $ABC$. В нем два угла равны: $\angle BAC = \angle BCA = \alpha$. Это означает, что треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$. Отсюда следует, что боковая сторона $AB$ равна основанию $BC$. Так как $BC = a$, то $AB = a$.

4. Трапеция $ABCD$ является равнобокой, поэтому ее боковые стороны равны: $CD = AB = a$.

5. По условию, диагональ $AC$ перпендикулярна боковой стороне $CD$, то есть $\angle ACD = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $ACD$ является прямоугольным.

6. В равнобокой трапеции углы при основании равны, поэтому $\angle CDA = \angle BAD = 2\alpha$.

7. Сумма углов в треугольнике $ACD$ равна $180^\circ$. Составим уравнение для углов этого треугольника:
$\angle CAD + \angle CDA + \angle ACD = 180^\circ$
$\alpha + 2\alpha + 90^\circ = 180^\circ$
$3\alpha = 90^\circ$
$\alpha = 30^\circ$

8. Таким образом, острый угол трапеции равен $\angle BAD = \angle CDA = 2\alpha = 60^\circ$.

9. В прямоугольном треугольнике $ACD$ катет $CD = a$ лежит напротив угла $\angle CAD = \alpha = 30^\circ$. Гипотенуза $AD$ (большее основание трапеции) вдвое больше этого катета:
$AD = 2 \cdot CD = 2a$.

10. Для нахождения площади трапеции необходима ее высота. Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$. В нем гипотенуза $CD = a$ и угол $\angle CDH = \angle CDA = 60^\circ$. Высота $h = CH$ является катетом, противолежащим углу $60^\circ$:
$h = CH = CD \cdot \sin(\angle CDA) = a \cdot \sin(60^\circ) = a \frac{\sqrt{3}}{2}$.

11. Теперь вычислим площадь трапеции $S$ по формуле:
$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot h$
$S = \frac{a + 2a}{2} \cdot a \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3a}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}a^2}{4}$.

Ответ: $S = \frac{3\sqrt{3}a^2}{4}$.