Номер 84, страница 174 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 84, страница 174.

Условие.

ции, если ее меньшее основание равно $a$.

22.84. Боковые стороны и меньшее основание равнобокой трапеции равны 10 см, а один из её углов равен $60^\circ$. Найдите радиус окружности, описанной около данной трапеции.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$.

По условию задачи, боковые стороны и меньшее основание равны 10 см, то есть $AB = CD = BC = 10$ см.

Один из углов трапеции равен $60°$. В равнобокой трапеции углы при каждом основании равны. Углы при большем основании ($AD$) — острые, а при меньшем ($BC$) — тупые. Следовательно, острый угол при большем основании равен $60°$: $∠A = ∠D = 60°$.

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180°$, поэтому тупой угол при меньшем основании равен $180° - 60° = 120°$. Таким образом, $∠B = ∠C = 120°$.

Окружность, описанная около трапеции $ABCD$, является той же окружностью, что и описанная около треугольника, образованного тремя ее вершинами, например, треугольника $ABD$.

Радиус $R$ описанной окружности для треугольника $ABD$ можно найти по следствию из теоремы синусов:

$R = \frac{BD}{2 \sin(∠A)}$

Чтобы использовать эту формулу, нам нужно найти длину диагонали $BD$. В равнобокой трапеции диагонали равны, то есть $BD = AC$. Найдем длину диагонали $AC$ из треугольника $ABC$ по теореме косинусов. В этом треугольнике нам известны две стороны $AB=10$ см, $BC=10$ см и угол между ними $∠B = 120°$.

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(∠B)$

$AC^2 = 10^2 + 10^2 - 2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot \cos(120°)$

Зная, что $\cos(120°) = -\cos(60°) = -\frac{1}{2}$, подставляем значение:

$AC^2 = 100 + 100 - 200 \cdot (-\frac{1}{2}) = 200 + 100 = 300$

$AC = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$ см.

Поскольку $BD = AC$, то $BD = 10\sqrt{3}$ см.

Теперь подставим известные значения в формулу для радиуса:

$R = \frac{BD}{2 \sin(∠A)} = \frac{10\sqrt{3}}{2 \sin(60°)}$

Используя значение $\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$R = \frac{10\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 10$ см.

Ответ: 10 см.