Номер 90, страница 174 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 90, страница 174.

Условие.

22.90. Найдите диагональ $AC$ четырёхугольника $ABCD$, если около него можно описать окружность и $AB = 3$ см, $BC = 4$ см, $CD = 5$ см, $AD = 6$ см.

Решение 1.

Решение 3.

Поскольку около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность, он является вписанным. Основное свойство вписанного четырёхугольника заключается в том, что сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Следовательно, $\angle B + \angle D = 180^\circ$. Из этого следует тригонометрическое тождество: $\cos(\angle D) = \cos(180^\circ - \angle B) = -\cos(\angle B)$.

Рассмотрим диагональ $AC$, которая делит четырёхугольник на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. Мы можем выразить квадрат длины диагонали $AC$ с помощью теоремы косинусов для каждого из этих треугольников.

В треугольнике $\triangle ABC$ по теореме косинусов:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B)$
$AC^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos(\angle B)$
$AC^2 = 9 + 16 - 24\cos(\angle B)$
$AC^2 = 25 - 24\cos(\angle B)$ (1)

В треугольнике $\triangle ADC$ по теореме косинусов:
$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos(\angle D)$
$AC^2 = 6^2 + 5^2 - 2 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \cos(\angle D)$
$AC^2 = 36 + 25 - 60\cos(\angle D)$
$AC^2 = 61 - 60\cos(\angle D)$ (2)

Используем соотношение $\cos(\angle D) = -\cos(\angle B)$ и подставим его в уравнение (2):
$AC^2 = 61 - 60(-\cos(\angle B))$
$AC^2 = 61 + 60\cos(\angle B)$ (3)

Теперь у нас есть два выражения для $AC^2$. Приравняем правые части уравнений (1) и (3), чтобы найти $\cos(\angle B)$:
$25 - 24\cos(\angle B) = 61 + 60\cos(\angle B)$
$25 - 61 = 60\cos(\angle B) + 24\cos(\angle B)$
$-36 = 84\cos(\angle B)$
$\cos(\angle B) = -\frac{36}{84} = -\frac{3 \cdot 12}{7 \cdot 12} = -\frac{3}{7}$

Подставим найденное значение $\cos(\angle B)$ в уравнение (1), чтобы найти $AC^2$:
$AC^2 = 25 - 24\left(-\frac{3}{7}\right)$
$AC^2 = 25 + \frac{72}{7}$
$AC^2 = \frac{25 \cdot 7}{7} + \frac{72}{7}$
$AC^2 = \frac{175 + 72}{7} = \frac{247}{7}$

Следовательно, длина диагонали $AC$ равна корню из этого значения:
$AC = \sqrt{\frac{247}{7}}$

Ответ: $\sqrt{\frac{247}{7}}$ см.