Номер 94, страница 174 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 94, страница 174.

Условие.

22.94. Общая хорда двух пересекающихся окружностей является стороной правильного треугольника, вписанного в одну окружность, и стороной правильного шестиугольника, вписанного в другую окружность. Длина этой хорды равна $a$. Найдите расстояние между центрами окружностей, если они лежат по одну сторону от хорды.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть первая окружность имеет центр $O_1$ и радиус $R_1$, а вторая — центр $O_2$ и радиус $R_2$. Пусть $AB$ — их общая хорда, длина которой по условию равна $a$. Линия центров $O_1O_2$ перпендикулярна общей хорде $AB$ и пересекает ее в середине, точке $M$.

Искомое расстояние между центрами $O_1O_2$. Так как центры лежат по одну сторону от хорды, это расстояние будет равно разности расстояний от каждого центра до хорды $AB$. То есть, $O_1O_2 = |O_1M - O_2M|$.

Найдем эти расстояния поочередно.

1. Характеристики первой окружности

В первой окружности хорда $AB$ является стороной вписанного правильного треугольника. Длина стороны правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса $R_1$, связана с радиусом формулой: $a = R_1\sqrt{3}$.

Отсюда находим радиус первой окружности:

$R_1 = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Теперь найдем расстояние $d_1 = O_1M$ от центра $O_1$ до хорды $AB$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $O_1MA$. В нем гипотенуза $O_1A = R_1$, а катет $AM = \frac{a}{2}$. По теореме Пифагора:

$O_1M^2 = O_1A^2 - AM^2$

$d_1^2 = R_1^2 - (\frac{a}{2})^2 = (\frac{a}{\sqrt{3}})^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{a^2}{3} - \frac{a^2}{4}$

Приводя к общему знаменателю:

$d_1^2 = \frac{4a^2 - 3a^2}{12} = \frac{a^2}{12}$

Следовательно, расстояние от центра первой окружности до хорды:

$d_1 = \sqrt{\frac{a^2}{12}} = \frac{a}{\sqrt{12}} = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$

2. Характеристики второй окружности

Во второй окружности хорда $AB$ является стороной вписанного правильного шестиугольника. Длина стороны правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна ее радиусу. Таким образом:

$R_2 = a$

Теперь найдем расстояние $d_2 = O_2M$ от центра $O_2$ до хорды $AB$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $O_2MA$. В нем гипотенуза $O_2A = R_2$, а катет $AM = \frac{a}{2}$. По теореме Пифагора:

$O_2M^2 = O_2A^2 - AM^2$

$d_2^2 = R_2^2 - (\frac{a}{2})^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$

Следовательно, расстояние от центра второй окружности до хорды:

$d_2 = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

3. Расстояние между центрами окружностей

По условию, центры $O_1$ и $O_2$ лежат по одну сторону от хорды $AB$. Значит, искомое расстояние равно модулю разности расстояний $d_1$ и $d_2$:

$O_1O_2 = |d_2 - d_1| = |\frac{a\sqrt{3}}{2} - \frac{a\sqrt{3}}{6}| = |\frac{3a\sqrt{3} - a\sqrt{3}}{6}| = |\frac{2a\sqrt{3}}{6}| = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{a\sqrt{3}}{3}$