Номер 92, страница 174 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 92, страница 174.

Условие.

22.92. Как относится сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, к стороне правильного шестиугольника, описанного около этой окружности?

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $R$ — радиус данной окружности. Обозначим сторону правильного шестиугольника, вписанного в эту окружность, как $a_{вп}$, а сторону правильного шестиугольника, описанного около этой окружности, как $a_{оп}$.

Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу этой окружности. Это свойство следует из того, что правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников, вершины которых совпадают с центром окружности, а стороны равны радиусу. Таким образом, мы имеем: $a_{вп} = R$

Теперь рассмотрим правильный шестиугольник, описанный около окружности. Для него окружность является вписанной, и ее радиус $R$ является апофемой шестиугольника (расстоянием от центра до стороны). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой $R$, отрезком, соединяющим центр с вершиной шестиугольника, и половиной стороны шестиугольника $\frac{a_{оп}}{2}$. Угол этого треугольника при центре шестиугольника равен половине центрального угла, то есть $\frac{1}{2} \cdot \frac{360^\circ}{6} = 30^\circ$.

В этом прямоугольном треугольнике катет $\frac{a_{оп}}{2}$ (противолежащий углу в $30^\circ$) и катет $R$ (прилежащий к углу в $30^\circ$) связаны через тангенс: $\tan(30^\circ) = \frac{a_{оп}/2}{R}$

Зная, что $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, получаем уравнение: $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{a_{оп}}{2R}$

Выразим отсюда сторону описанного шестиугольника $a_{оп}$: $a_{оп} = \frac{2R}{\sqrt{3}}$

Наконец, найдем искомое отношение стороны вписанного шестиугольника к стороне описанного: $\frac{a_{вп}}{a_{оп}} = \frac{R}{\frac{2R}{\sqrt{3}}} = R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2R} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.