Номер 85, страница 174 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 85, страница 174.

Условие.

22.85. Основания равнобокой трапеции равны 9 см и 21 см, а диагональ – 17 см. Найдите радиус окружности, описанной около данной трапеции.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По условию задачи, меньшее основание $BC = 9$ см, большее основание $AD = 21$ см, а диагональ $AC = 17$ см.

Для нахождения радиуса описанной окружности сначала найдем высоту и боковую сторону трапеции. Проведем из вершины $C$ высоту $CH$ на основание $AD$.

В равнобокой трапеции проекция диагонали на большее основание равна полусумме оснований. Таким образом, длина отрезка $AH$ составляет:
$AH = \frac{AD + BC}{2} = \frac{21 + 9}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см.
Теперь из прямоугольного треугольника $ACH$ по теореме Пифагора найдем высоту $CH$:
$CH^2 = AC^2 - AH^2 = 17^2 - 15^2 = (17 - 15)(17 + 15) = 2 \cdot 32 = 64$.
$CH = \sqrt{64} = 8$ см.

Теперь найдем боковую сторону $CD$. Длина отрезка $HD$ (проекция боковой стороны на большее основание) равна полуразности оснований:
$HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{21 - 9}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.
Из прямоугольного треугольника $CHD$ по теореме Пифагора найдем сторону $CD$:
$CD^2 = CH^2 + HD^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$.
$CD = \sqrt{100} = 10$ см.

Радиус окружности, описанной около трапеции, совпадает с радиусом окружности, описанной около треугольника, образованного тремя вершинами трапеции, например, треугольника $ACD$.
Стороны треугольника $ACD$ равны: $AD = 21$ см, $AC = 17$ см, $CD = 10$ см.
Радиус описанной окружности $R$ для треугольника со сторонами $a, b, c$ и площадью $S$ вычисляется по формуле: $R = \frac{abc}{4S}$.
Найдем площадь треугольника $ACD$. Его основание $AD = 21$ см, а высота, проведенная к этому основанию, равна высоте трапеции $CH = 8$ см.
$S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot 8 = 84$ см$^2$.
Подставим известные значения в формулу для радиуса:
$R = \frac{AD \cdot AC \cdot CD}{4 \cdot S_{ACD}} = \frac{21 \cdot 17 \cdot 10}{4 \cdot 84} = \frac{21 \cdot 17 \cdot 10}{336}$.
Сократим дробь:
$R = \frac{21 \cdot 17 \cdot 10}{4 \cdot (21 \cdot 4)} = \frac{17 \cdot 10}{16} = \frac{170}{16} = \frac{85}{8} = 10,625$ см.

Ответ: $10,625$ см.