Номер 86, страница 174 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 86, страница 174.

Условие.

22.86. Основания трапеции равны 15 см и 36 см, а боковые стороны –13 см и 20 см. Найдите площадь данной трапеции.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана трапеция ABCD, где AD и BC — основания, AB и CD — боковые стороны.
По условию задачи имеем:
Большее основание $a = AD = 36$ см.
Меньшее основание $b = BC = 15$ см.
Боковые стороны $c = AB = 13$ см и $d = CD = 20$ см.

Для нахождения площади трапеции необходимо знать ее высоту. Площадь трапеции вычисляется по формуле:
$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $h$ — высота трапеции.

Чтобы найти высоту, выполним дополнительное построение. Проведем из вершины C прямую CE, параллельную боковой стороне AB, до пересечения с основанием AD в точке E.
В результате этого построения мы получаем параллелограмм ABCE (поскольку BC || AE и AB || CE) и треугольник ECD.
Из свойств параллелограмма следует, что $AE = BC = 15$ см и $CE = AB = 13$ см.
Теперь мы можем найти длину отрезка ED на большем основании:
$ED = AD - AE = 36 - 15 = 21$ см.

Рассмотрим треугольник ECD. Его стороны равны:
$CE = 13$ см,
$CD = 20$ см,
$ED = 21$ см.
Высота трапеции $h$ совпадает с высотой треугольника ECD, проведенной из вершины C к стороне ED.

Найдем площадь треугольника ECD по формуле Герона: $S_{\triangle} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр треугольника.
Вычислим полупериметр треугольника ECD:
$p = \frac{13 + 20 + 21}{2} = \frac{54}{2} = 27$ см.
Теперь найдем площадь:
$S_{ECD} = \sqrt{27(27-13)(27-20)(27-21)} = \sqrt{27 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{(3 \cdot 9) \cdot (2 \cdot 7) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{9^2 \cdot 2^2 \cdot 7^2} = 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7 = 126$ см$^2$.

С другой стороны, площадь треугольника можно выразить через основание и высоту:
$S_{ECD} = \frac{1}{2} \cdot ED \cdot h$.
Подставим известные значения, чтобы найти высоту $h$:
$126 = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot h$
$252 = 21 \cdot h$
$h = \frac{252}{21} = 12$ см.

Теперь, зная высоту трапеции, мы можем вычислить ее площадь:
$S = \frac{AD+BC}{2} \cdot h = \frac{36+15}{2} \cdot 12 = \frac{51}{2} \cdot 12 = 51 \cdot 6 = 306$ см$^2$.

Ответ: 306 см$^2$.