Номер 74, страница 173 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 74, страница 173.

Условие.

22.74. Основания равнобокой трапеции равны 15 см и 33 см, а диагональ делит её острый угол пополам. Найдите площадь трапеции.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$, в которой $AD$ и $BC$ — основания, $AB=CD$ — боковые стороны.

По условию задачи, основания равны $BC = 15$ см и $AD = 33$ см. Диагональ $AC$ делит острый угол $\angle{BAD}$ пополам, то есть является его биссектрисой. Это означает, что $\angle{BAC} = \angle{CAD}$.

Поскольку основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), то углы $\angle{BCA}$ и $\angle{CAD}$ равны как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых $BC$ и $AD$ секущей $AC$.

Из равенств $\angle{BAC} = \angle{CAD}$ и $\angle{BCA} = \angle{CAD}$ следует, что $\angle{BAC} = \angle{BCA}$. Это означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$. Следовательно, боковая сторона $AB$ равна основанию $BC$.

$AB = BC = 15$ см.

Так как трапеция равнобокая, ее боковые стороны равны: $CD = AB = 15$ см.

Для нахождения площади трапеции нам необходима ее высота. Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ к основанию $AD$. В равнобокой трапеции отрезок $AH$, отсекаемый высотой от большего основания, можно найти по формуле:

$AH = \frac{AD - BC}{2}$

Подставим известные значения:

$AH = \frac{33 - 15}{2} = \frac{18}{2} = 9$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. В нем известны гипотенуза $AB = 15$ см и катет $AH = 9$ см. Найдем второй катет $BH$, который является высотой трапеции $h$, по теореме Пифагора:

$AB^2 = AH^2 + BH^2$

$h^2 = BH^2 = AB^2 - AH^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144$

$h = \sqrt{144} = 12$ см.

Теперь мы можем найти площадь трапеции по формуле:

$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$

Подставим все найденные значения:

$S = \frac{33 + 15}{2} \cdot 12 = \frac{48}{2} \cdot 12 = 24 \cdot 12 = 288$ см$^2$.

Ответ: 288 см$^2$.