Номер 68, страница 172 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 68, страница 172.

Условие.

22.68. Найдите высоту равнобокой трапеции, основания которой равны 23 см и 17 см, а диагональ – 25 см.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где AD и BC — основания. По условию, большее основание $AD = 23$ см, меньшее основание $BC = 17$ см, а диагональ $AC = 25$ см. Требуется найти высоту трапеции $h$.

1. Проведем из вершины C высоту $CH$ на основание $AD$. В результате мы получим прямоугольный треугольник $\triangle AHC$, в котором гипотенузой является диагональ $AC$, а катетами — высота $CH$ и отрезок $AH$.

2. По теореме Пифагора для треугольника $\triangle AHC$ имеем: $AC^2 = AH^2 + CH^2$. Отсюда высоту $h = CH$ можно найти по формуле: $h^2 = AC^2 - AH^2$.

3. Чтобы использовать эту формулу, нам нужно найти длину катета $AH$. Для этого проведем еще одну высоту $BK$ из вершины $B$ на основание $AD$. Так как трапеция равнобокая, треугольники $\triangle ABK$ и $\triangle DCH$ равны, следовательно, отрезки $AK$ и $HD$ равны: $AK = HD$.

4. Четырехугольник $BCHK$ является прямоугольником, так как его стороны попарно параллельны ($BC \parallel AD$) и углы прямые ($BK \perp AD$, $CH \perp AD$). Значит, $KH = BC = 17$ см.

5. Большее основание $AD$ состоит из трех отрезков: $AD = AK + KH + HD$. Заменив $HD$ на $AK$, получим: $AD = 2 \cdot AK + KH$.

6. Подставим известные значения, чтобы найти длину отрезка $AK$:

$23 = 2 \cdot AK + 17$

$2 \cdot AK = 23 - 17$

$2 \cdot AK = 6$

$AK = 3$ см.

7. Теперь можем найти длину отрезка $AH$, который является суммой отрезков $AK$ и $KH$:

$AH = AK + KH = 3 + 17 = 20$ см.

8. Наконец, подставим известные значения $AC$ и $AH$ в формулу теоремы Пифагора, чтобы найти высоту $h$:

$h^2 = AC^2 - AH^2$

$h^2 = 25^2 - 20^2$

$h^2 = 625 - 400$

$h^2 = 225$

$h = \sqrt{225} = 15$ см.

Ответ: 15 см.