Номер 63, страница 172 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 63, страница 172.

Условие.

22.63. Серединный перпендикуляр диагонали $AC$ прямоугольника $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $M$ так, что $BM : MC = 1 : 2$. Найдите углы, на которые диагональ прямоугольника делит его угол.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дан прямоугольник $ABCD$. Серединный перпендикуляр к диагонали $AC$ пересекает сторону $BC$ в точке $M$.

По свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка, к которому он проведен. Так как точка $M$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AC$, то расстояния от $M$ до точек $A$ и $C$ равны, то есть $AM = MC$.

Из условия задачи известно, что $BM : MC = 1 : 2$. Обозначим длину отрезка $BM$ как $x$, тогда длина отрезка $MC$ будет $2x$.

Так как $AM = MC$, то $AM = 2x$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABM$ (угол $\angle B = 90^\circ$, так как $ABCD$ — прямоугольник). В этом треугольнике катет $BM = x$ и гипотенуза $AM = 2x$. Катет $BM$ вдвое меньше гипотенузы $AM$. В прямоугольном треугольнике катет, равный половине гипотенузы, лежит напротив угла в $30^\circ$. Следовательно, $\angle BAM = 30^\circ$.

Тогда второй острый угол этого треугольника $\angle AMB = 90^\circ - \angle BAM = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AMC$. Так как $AM = MC$, он является равнобедренным. Углы при основании этого треугольника равны: $\angle MAC = \angle MCA$. Обозначим эти углы как $\alpha$.

Угол $\angle AMB$ является внешним углом для треугольника $\triangle AMC$. По свойству внешнего угла треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle AMB = \angle MAC + \angle MCA$.

Подставляя известные значения, получаем: $60^\circ = \alpha + \alpha = 2\alpha$. Отсюда находим $\alpha = 30^\circ$.

Таким образом, $\angle MCA = 30^\circ$. Этот угол является частью угла $C$ прямоугольника, то есть $\angle BCA = 30^\circ$.

Поскольку в прямоугольнике $AD \parallel BC$, то накрест лежащие углы при секущей $AC$ равны: $\angle CAD = \angle BCA = 30^\circ$.

Угол прямоугольника $\angle BAD$ равен $90^\circ$. Диагональ $AC$ делит его на два угла: $\angle BAC$ и $\angle CAD$. Мы уже нашли, что $\angle CAD = 30^\circ$.

Тогда второй угол, на который диагональ делит угол $A$, равен $\angle BAC = \angle BAD - \angle CAD = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Следовательно, диагональ прямоугольника делит его угол на углы $30^\circ$ и $60^\circ$.

Ответ: $30^\circ, 60^\circ$.