Номер 70, страница 173 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 70, страница 173.

Условие.

22.70. Боковая сторона равнобокой трапеции, описанной около окружности, равна $a$, а один из углов – $60^\circ$. Найдите площадь трапеции.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ – основания, $AB$ и $CD$ – боковые стороны. По условию, трапеция равнобокая, следовательно, ее боковые стороны равны: $AB = CD = a$. Один из углов трапеции равен $60^\circ$. В равнобокой трапеции углы при основаниях равны. Угол в $60^\circ$ является острым, поэтому это угол при большем основании. Пусть $\angle A = \angle D = 60^\circ$.

Так как трапеция описана около окружности, то суммы ее противолежащих сторон равны. Это означает, что сумма оснований равна сумме боковых сторон: $AD + BC = AB + CD = a + a = 2a$

Площадь трапеции $S$ находится по формуле: $S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$, где $h$ – высота трапеции.

Подставив в эту формулу найденную сумму оснований, получаем: $S = \frac{2a}{2} \cdot h = a \cdot h$

Чтобы найти площадь, необходимо определить высоту $h$. Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ к основанию $AD$. Мы получим прямоугольный треугольник $ABH$, в котором:

• гипотенуза $AB = a$ (боковая сторона трапеции)
• угол $\angle A = 60^\circ$
• катет $BH = h$ (высота трапеции)

Из определения синуса в прямоугольном треугольнике имеем: $\sin(\angle A) = \frac{BH}{AB}$ $h = BH = AB \cdot \sin(\angle A) = a \cdot \sin(60^\circ)$

Значение синуса $60^\circ$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$, поэтому высота трапеции: $h = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь можем вычислить площадь трапеции, подставив найденное значение высоты $h$ в формулу $S = a \cdot h$: $S = a \cdot \left(a \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$