Номер 54, страница 171 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 54, страница 171.

Условие.

22.54. На медиане $BD$ треугольника $ABC$ отметили точку $M$ так, что $BM : MD = 3 : 1$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если площадь треугольника $AMD$ равна $3\;см^2$.

Решение 1.

Решение 3.

Рассмотрим треугольники $AMD$ и $ABM$. У этих треугольников общая высота, проведенная из вершины $A$ к прямой $BD$, на которой лежат их основания $MD$ и $BM$.

Площади треугольников с общей высотой относятся как длины их оснований. Следовательно: $$ \frac{S_{ABM}}{S_{AMD}} = \frac{BM}{MD} $$

По условию задачи, $BM : MD = 3 : 1$, значит, $\frac{BM}{MD} = 3$. Также известно, что площадь треугольника $AMD$ равна $3 \text{ см}^2$, то есть $S_{AMD} = 3 \text{ см}^2$.

Подставим эти значения в пропорцию, чтобы найти площадь треугольника $ABM$: $$ \frac{S_{ABM}}{3} = 3 $$ $$ S_{ABM} = 3 \cdot 3 = 9 \text{ см}^2 $$

Площадь треугольника $ABD$ складывается из площадей треугольников $ABM$ и $AMD$: $$ S_{ABD} = S_{ABM} + S_{AMD} = 9 + 3 = 12 \text{ см}^2 $$

Поскольку $BD$ является медианой треугольника $ABC$, она делит его на два треугольника с равными площадями: $ABD$ и $BCD$. $$ S_{ABD} = S_{BCD} = 12 \text{ см}^2 $$

Площадь всего треугольника $ABC$ равна сумме площадей этих двух треугольников: $$ S_{ABC} = S_{ABD} + S_{BCD} = 2 \cdot S_{ABD} $$

Таким образом, находим площадь треугольника $ABC$: $$ S_{ABC} = 2 \cdot 12 = 24 \text{ см}^2 $$

Ответ: $24 \text{ см}^2$.