Номер 49, страница 171 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 49, страница 171.

Условие.

22.49. Радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен 6 см. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $AOC$, где $O$ – точка пересечения биссектрис треугольника $ABC$, если $\angle ABC = 60^{\circ}$.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $R_{ABC}$ — радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$. По условию, $R_{ABC} = 6$ см и $\angle ABC = 60^\circ$.

1. Найдем длину стороны AC.
Воспользуемся следствием из теоремы синусов для треугольника $ABC$: отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности.
$ \frac{AC}{\sin(\angle ABC)} = 2R_{ABC} $
Отсюда выразим сторону $AC$:
$ AC = 2R_{ABC} \cdot \sin(\angle ABC) $
Подставим известные значения:
$ AC = 2 \cdot 6 \cdot \sin(60^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} $ см.

2. Найдем угол AOC.
Точка $O$ — точка пересечения биссектрис треугольника $ABC$ (инцентр). Следовательно, $AO$ и $CO$ — биссектрисы углов $\angle BAC$ и $\angle BCA$ соответственно.
В треугольнике $ABC$ сумма углов равна $180^\circ$:
$ \angle BAC + \angle BCA + \angle ABC = 180^\circ $
$ \angle BAC + \angle BCA = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ $
Рассмотрим треугольник $AOC$. Сумма его углов также равна $180^\circ$:
$ \angle OAC + \angle OCA + \angle AOC = 180^\circ $
Поскольку $AO$ и $CO$ — биссектрисы:
$ \angle OAC = \frac{1}{2}\angle BAC $
$ \angle OCA = \frac{1}{2}\angle BCA $
Тогда:
$ \angle AOC = 180^\circ - (\angle OAC + \angle OCA) = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle BAC + \angle BCA) $
Подставим найденное значение суммы углов:
$ \angle AOC = 180^\circ - \frac{1}{2}(120^\circ) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ $

3. Найдем радиус окружности, описанной около треугольника AOC.
Пусть $R_{AOC}$ — искомый радиус. Применим следствие из теоремы синусов к треугольнику $AOC$:
$ \frac{AC}{\sin(\angle AOC)} = 2R_{AOC} $
Выразим $R_{AOC}$:
$ R_{AOC} = \frac{AC}{2\sin(\angle AOC)} $
Подставим известные значения $AC = 6\sqrt{3}$ и $\angle AOC = 120^\circ$:
$ R_{AOC} = \frac{6\sqrt{3}}{2\sin(120^\circ)} = \frac{6\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6 $ см.

Ответ: 6 см.