Номер 45, страница 171 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 45, страница 171.

Условие.

22.45. Стороны треугольника равны 12 см, 15 см и 18 см. Найдите биссектрису треугольника, проведенную из вершины его наибольшего угла.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть стороны треугольника равны $a = 12$ см, $b = 15$ см и $c = 18$ см. В треугольнике напротив большей стороны лежит больший угол. Следовательно, наибольший угол треугольника находится напротив стороны длиной 18 см.

Обозначим вершины треугольника как A, B, C так, чтобы стороны, противолежащие им, были $a=BC=15$ см, $b=AC=12$ см и $c=AB=18$ см. Тогда наибольший угол — это угол C, так как он лежит напротив наибольшей стороны AB. Нам нужно найти длину биссектрисы, проведенной из вершины C к стороне AB. Обозначим эту биссектрису как $l_c$, а точку ее пересечения со стороной AB как D.

Согласно свойству биссектрисы, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

$\frac{AD}{DB} = \frac{AC}{BC} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$

Мы знаем, что длина стороны AB равна 18 см, то есть $AD + DB = 18$.

Пусть $AD = x$ и $DB = y$. Тогда у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} \frac{x}{y} = \frac{4}{5} \\ x+y=18 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x$: $x = \frac{4}{5}y$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{4}{5}y + y = 18$

$\frac{9}{5}y = 18$

$y = \frac{18 \cdot 5}{9} = 2 \cdot 5 = 10$ см. Итак, $DB = 10$ см.

Теперь найдем $x$: $x = 18 - y = 18 - 10 = 8$ см. Итак, $AD = 8$ см.

Для вычисления длины биссектрисы $l_c$ воспользуемся формулой:

$l_c^2 = AC \cdot BC - AD \cdot DB$

Подставим найденные значения:

$l_c^2 = 12 \cdot 15 - 8 \cdot 10$

$l_c^2 = 180 - 80 = 100$

$l_c = \sqrt{100} = 10$ см.

Таким образом, длина биссектрисы, проведенной из вершины наибольшего угла, равна 10 см.

Ответ: 10 см.