Номер 39, страница 170 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 39, страница 170.

Условие.

22.39. Боковая сторона равнобедренного треугольника точкой касания вписанной окружности делится в отношении 8 : 9, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите площадь треугольника, если радиус вписанной окружности равен 16 см.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. Боковые стороны $AB = BC$. В треугольник вписана окружность с центром $O$ и радиусом $r = 16$ см. Пусть $K$, $L$, $M$ — точки касания окружности со сторонами $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно.

По условию, точка касания делит боковую сторону в отношении $8 : 9$, считая от вершины угла при основании. Возьмем сторону $BC$ и вершину $C$. Тогда $CL : LB = 8 : 9$.

Пусть коэффициент пропорциональности равен $x$, тогда $CL = 8x$ и $LB = 9x$.

Длина боковой стороны $BC = CL + LB = 8x + 9x = 17x$. Так как треугольник равнобедренный, $AB = BC = 17x$.

По свойству отрезков касательных, проведенных из одной вершины к окружности, имеем:
$CL = CM = 8x$
$LB = BK = 9x$
$AK = AM$

Найдем $AK$: $AK = AB - BK = 17x - 9x = 8x$. Следовательно, $AM = 8x$.

Теперь найдем длину основания $AC$:
$AC = AM + MC = 8x + 8x = 16x$.

Площадь треугольника можно найти по формуле $S = p \cdot r$, где $p$ — полупериметр, а $r$ — радиус вписанной окружности.

Найдем периметр $P$ треугольника $ABC$:
$P = AB + BC + AC = 17x + 17x + 16x = 50x$.

Полупериметр $p = \frac{P}{2} = \frac{50x}{2} = 25x$.

Теперь выразим площадь через $x$:
$S = p \cdot r = 25x \cdot 16 = 400x$.

С другой стороны, площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} a \cdot h$. Проведем высоту $BH$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой, поэтому $H$ — середина $AC$.

$HC = \frac{AC}{2} = \frac{16x}{2} = 8x$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. По теореме Пифагора:
$BH^2 + HC^2 = BC^2$
$BH^2 + (8x)^2 = (17x)^2$
$BH^2 + 64x^2 = 289x^2$
$BH^2 = 289x^2 - 64x^2 = 225x^2$
$BH = \sqrt{225x^2} = 15x$.

Теперь найдем площадь через основание и высоту:
$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 16x \cdot 15x = 8x \cdot 15x = 120x^2$.

Мы получили два выражения для площади. Приравняем их, чтобы найти $x$:
$400x = 120x^2$

Так как $x$ не может быть равно нулю (иначе стороны треугольника были бы нулевой длины), мы можем разделить обе части уравнения на $x$:
$400 = 120x$
$x = \frac{400}{120} = \frac{40}{12} = \frac{10}{3}$.

Теперь, зная $x$, найдем площадь треугольника, подставив значение $x$ в одну из формул для площади:
$S = 400x = 400 \cdot \frac{10}{3} = \frac{4000}{3} = 1333\frac{1}{3}$ см$^2$.

Ответ: $1333\frac{1}{3}$ см$^2$.