Номер 34, страница 170 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 34, страница 170.

Условие.

22.34. Середина боковой стороны равнобедренного треугольника удалена от его основания на 9 см. Найдите расстояние от точки пересечения медиан треугольника до его основания.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. Пусть $M$ — середина боковой стороны $AB$. Расстояние от точки $M$ до основания $AC$ — это длина перпендикуляра $MK$, опущенного из точки $M$ на прямую $AC$. По условию, $MK = 9$ см.

Проведем высоту $BH$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Таким образом, $BH$ — это и высота, и медиана треугольника $ABC$.

Поскольку $BH \perp AC$ и $MK \perp AC$, то прямые $MK$ и $BH$ параллельны ($MK \parallel BH$).

Рассмотрим треугольник $ABH$. В нем точка $M$ является серединой стороны $AB$, а отрезок $MK$ параллелен стороне $BH$. Следовательно, $MK$ является средней линией треугольника $ABH$.

По свойству средней линии треугольника, ее длина равна половине длины стороны, которой она параллельна. Значит:

$MK = \frac{1}{2} BH$

Отсюда мы можем найти длину высоты (и медианы) $BH$:

$BH = 2 \cdot MK = 2 \cdot 9 = 18$ см.

Точка пересечения медиан треугольника (называемая центроидом), обозначим ее $O$, делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Точка $O$ лежит на медиане $BH$ и делит ее в отношении $BO : OH = 2:1$.

Расстояние от точки пересечения медиан $O$ до основания $AC$ равно длине отрезка $OH$.

Так как $BH$ делится в отношении 2:1, то весь отрезок $BH$ состоит из $2+1=3$ частей. Отрезок $OH$ составляет одну из этих трех частей:

$OH = \frac{1}{3} BH$

Подставим найденное значение длины $BH$:

$OH = \frac{1}{3} \cdot 18 = 6$ см.

Ответ: 6 см.