Номер 31, страница 170 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 31, страница 170.

Условие.

22.31. Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, равна 15 см, а высота, проведённая к боковой стороне, – 24 см. Найдите площадь этого треугольника.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC$. Обозначим длину боковой стороны как $a$, а длину основания как $b$.

Проведём высоту $BH$ к основанию $AC$. По условию, её длина $h_b = BH = 15$ см. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой, поэтому $AH = HC = \frac{b}{2}$.

Проведём высоту $AK$ к боковой стороне $BC$. По условию, её длина $h_a = AK = 24$ см.

Площадь треугольника $S$ можно вычислить двумя способами:

1. Через основание $b$ и высоту $h_b$: $S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b = \frac{1}{2} \cdot b \cdot 15$.

2. Через боковую сторону $a$ и высоту $h_a$: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot a \cdot 24$.

Приравняем эти два выражения для площади, чтобы найти соотношение между сторонами $a$ и $b$:

$\frac{1}{2} \cdot 15 \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot a$

$15b = 24a$

Разделим обе части на 3:

$5b = 8a$

Отсюда выразим $b$ через $a$: $b = \frac{8}{5}a$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$ (угол $H$ прямой). По теореме Пифагора:

$BC^2 = BH^2 + HC^2$

Подставим известные значения и выражения: $a^2 = 15^2 + (\frac{b}{2})^2$.

Теперь подставим в это уравнение выражение для $b$ через $a$ ($b = \frac{8}{5}a$):

$a^2 = 15^2 + (\frac{\frac{8}{5}a}{2})^2$

$a^2 = 225 + (\frac{4}{5}a)^2$

$a^2 = 225 + \frac{16a^2}{25}$

Перенесём слагаемое с $a^2$ в левую часть:

$a^2 - \frac{16a^2}{25} = 225$

$\frac{25a^2 - 16a^2}{25} = 225$

$\frac{9a^2}{25} = 225$

Выразим $a^2$:

$a^2 = \frac{225 \cdot 25}{9}$

$a^2 = 25 \cdot 25 = 625$

$a = \sqrt{625} = 25$ см.

Мы нашли длину боковой стороны $a = 25$ см. Теперь можем вычислить площадь треугольника, используя высоту, проведённую к этой стороне:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 24 = 25 \cdot 12 = 300$ см².

Ответ: 300 см².