Номер 30, страница 170 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 30, страница 170.

Условие.

22.30. Основание равнобедренного треугольника равно 40 см, а высота, проведённая к нему, – 15 см. Найдите расстояние между точками касания окружности, вписанной в треугольник, с его боковыми сторонами.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB$ и $BC$. По условию, основание $AC = 40$ см. Проведем высоту $BH$ к основанию $AC$. Длина высоты $BH = 15$ см.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Поскольку $BH$ — медиана, она делит основание $AC$ на два равных отрезка:$AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{40}{2} = 20$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (где $\angle AHB = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдем длину боковой стороны $AB$:$AB^2 = AH^2 + BH^2$$AB^2 = 20^2 + 15^2 = 400 + 225 = 625$$AB = \sqrt{625} = 25$ см.Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то $BC = AB = 25$ см.

Пусть вписанная в треугольник $ABC$ окружность касается боковых сторон $AB$ и $BC$ в точках $K$ и $L$ соответственно, а основания $AC$ — в точке $M$. Поскольку высота $BH$ является осью симметрии треугольника, точка касания $M$ совпадает с точкой $H$.

По свойству отрезков касательных, проведенных из одной вершины к окружности, имеем:$AK = AH = 20$ см.$CL = CH = 20$ см.$BK = BL$.

Найдем длину отрезка $BK$. Мы знаем, что точка $K$ лежит на стороне $AB$:$AB = AK + BK$$25 = 20 + BK$$BK = 25 - 20 = 5$ см.Следовательно, $BL$ также равно 5 см.

Теперь рассмотрим треугольники $KBL$ и $ABC$. У них есть общий угол $\angle B$. Сравним стороны, образующие этот угол:$\frac{BK}{AB} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$$\frac{BL}{BC} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$

Поскольку $\frac{BK}{AB} = \frac{BL}{BC}$ и угол $\angle B$ является общим, треугольник $KBL$ подобен треугольнику $ABC$ по второму признаку подобия. Коэффициент подобия $k = \frac{1}{5}$.

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон равно коэффициенту подобия:$\frac{KL}{AC} = k = \frac{1}{5}$

Подставим известное значение длины основания $AC$ и найдем искомое расстояние $KL$:$KL = AC \cdot k = 40 \cdot \frac{1}{5} = 8$ см.

Ответ: 8 см.