Номер 26, страница 169 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 26, страница 169.

Условие.

22.26. Площадь треугольника $ABC$ равна 18 см$^2$. На стороне $AB$ отметили точки $K$ и $D$ так, что $AK = KD = DB$, а на стороне $AC$ – точки $F$ и $E$ так, что $AF = FE = EC$. Найдите площадь четырёхугольника $DEFK$.

Решение 1.

Решение 3.

По условию задачи, площадь треугольника $ABC$ равна 18 см². На стороне $AB$ отмечены точки $K$ и $D$ так, что $AK = KD = DB$. Это означает, что точки $K$ и $D$ делят сторону $AB$ на три равных отрезка. Аналогично, на стороне $AC$ отмечены точки $F$ и $E$ так, что $AF = FE = EC$, то есть сторона $AC$ также разделена на три равных отрезка.

Из этих условий мы можем выразить длины отрезков $AK$, $AD$, $AF$ и $AE$ через длины сторон $AB$ и $AC$:

• $AK = \frac{1}{3} AB$
• $AD = AK + KD = \frac{1}{3} AB + \frac{1}{3} AB = \frac{2}{3} AB$
• $AF = \frac{1}{3} AC$
• $AE = AF + FE = \frac{1}{3} AC + \frac{1}{3} AC = \frac{2}{3} AC$

Площадь четырёхугольника $DEFK$ можно найти как разность площадей треугольника $ADE$ и треугольника $AKF$, поскольку треугольник $AKF$ является частью треугольника $ADE$.

$S_{DEFK} = S_{ADE} - S_{AKF}$

Воспользуемся формулой площади треугольника через две стороны и синус угла между ними: $S = \frac{1}{2} a \cdot b \cdot \sin \gamma$. Треугольники $ABC$, $ADE$ и $AKF$ имеют общий угол $A$.

Площадь треугольника $ABC$ равна:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin A = 18$ см².

Теперь найдем площадь треугольника $ADE$, используя выраженные ранее стороны:

$S_{ADE} = \frac{1}{2} AD \cdot AE \cdot \sin A = \frac{1}{2} \left(\frac{2}{3} AB\right) \cdot \left(\frac{2}{3} AC\right) \cdot \sin A = \frac{4}{9} \left(\frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin A\right) = \frac{4}{9} S_{ABC}$

Подставим известное значение площади $S_{ABC}$:

$S_{ADE} = \frac{4}{9} \cdot 18 = 4 \cdot 2 = 8$ см².

Далее найдем площадь треугольника $AKF$:

$S_{AKF} = \frac{1}{2} AK \cdot AF \cdot \sin A = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{3} AB\right) \cdot \left(\frac{1}{3} AC\right) \cdot \sin A = \frac{1}{9} \left(\frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin A\right) = \frac{1}{9} S_{ABC}$

Подставим известное значение площади $S_{ABC}$:

$S_{AKF} = \frac{1}{9} \cdot 18 = 2$ см².

Наконец, вычисляем площадь искомого четырёхугольника $DEFK$:

$S_{DEFK} = S_{ADE} - S_{AKF} = 8 \text{ см}^2 - 2 \text{ см}^2 = 6 \text{ см}^2$.

Ответ: 6 см².