Номер 22, страница 169 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 22, страница 169.

Условие.

22.22. Точка $M$ – середина стороны $AB$ треугольника $ABC$, точка $K$ – середина стороны $AC$. Площадь треугольника $AMK$ равна $12\text{ см}^2$. Чему равна площадь четырёхугольника $BMKC$?

Решение 1.

Решение 3.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $AMK$.

По условию задачи, точка $M$ является серединой стороны $AB$, а точка $K$ — серединой стороны $AC$. Следовательно, отрезок $MK$ является средней линией треугольника $ABC$.

По свойству средней линии, треугольник $AMK$ подобен треугольнику $ABC$ ($ \triangle AMK \sim \triangle ABC $). Коэффициент подобия $k$ равен отношению длин соответствующих сторон. Так как $M$ и $K$ — середины сторон, то:

$ k = \frac{AM}{AB} = \frac{AK}{AC} = \frac{1}{2} $

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия:

$ \frac{S_{AMK}}{S_{ABC}} = k^2 $

Подставим значение коэффициента подобия в формулу:

$ \frac{S_{AMK}}{S_{ABC}} = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} $

Отсюда мы можем выразить площадь треугольника $ABC$ через известную нам площадь треугольника $AMK$:

$ S_{ABC} = 4 \cdot S_{AMK} $

По условию, площадь треугольника $AMK$ равна 12 см², $S_{AMK} = 12$ см². Тогда площадь треугольника $ABC$ составляет:

$ S_{ABC} = 4 \cdot 12 = 48 $ см².

Площадь четырёхугольника $BMKC$ можно найти как разность площадей треугольника $ABC$ и треугольника $AMK$:

$ S_{BMKC} = S_{ABC} - S_{AMK} $

Подставим вычисленные значения:

$ S_{BMKC} = 48 - 12 = 36 $ см².

Ответ: 36 см².