Номер 15, страница 168 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 15, страница 168.

Условие.

22.15. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $F$, $AB : BF = 3 : 7$, $AD$ – большее основание трапеции. Разность оснований трапеции равна 6 см. Найдите основание $AD$.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, причем $AD$ — большее основание ($AD \parallel BC$). Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $F$.

Рассмотрим треугольники $\triangle FBC$ и $\triangle FAD$. Поскольку основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), а прямые $AF$ и $DF$ являются секущими, то соответственные углы при этих параллельных прямых равны:

• $\angle FBC = \angle FAD$
• $\angle FCB = \angle FDA$

Угол $\angle F$ является общим для обоих треугольников. Таким образом, по первому признаку подобия (по двум углам), треугольники $\triangle FBC$ и $\triangle FAD$ подобны: $\triangle FBC \sim \triangle FAD$.

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответственных сторон равно коэффициенту подобия $k$:

$\frac{BC}{AD} = \frac{FB}{FA} = k$

По условию задачи дано отношение $AB : BF = 3 : 7$. Пусть $AB = 3x$ и $BF = 7x$ для некоторой положительной константы $x$. Точка $B$ лежит на отрезке $AF$, поэтому длина стороны $FA$ равна сумме длин отрезков $AB$ и $BF$:

$FA = AB + BF = 3x + 7x = 10x$

Теперь можем найти коэффициент подобия $k$, который равен отношению сторон $FB$ и $FA$:

$k = \frac{FB}{FA} = \frac{7x}{10x} = \frac{7}{10}$

Следовательно, отношение оснований трапеции также равно $\frac{7}{10}$:

$\frac{BC}{AD} = \frac{7}{10}$

Отсюда выразим длину меньшего основания $BC$ через большее $AD$: $BC = \frac{7}{10} AD$.

В условии сказано, что разность оснований трапеции равна 6 см. Так как $AD$ — большее основание, мы можем составить уравнение:

$AD - BC = 6$

Подставим в это уравнение найденное выражение для $BC$:

$AD - \frac{7}{10} AD = 6$

Вынесем $AD$ за скобки:

$AD \left(1 - \frac{7}{10}\right) = 6$

$AD \cdot \frac{3}{10} = 6$

Найдём $AD$:

$AD = 6 \cdot \frac{10}{3} = \frac{60}{3} = 20$

Таким образом, длина основания $AD$ равна 20 см.

Ответ: 20 см.