Номер 12, страница 168 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 12, страница 168.

Условие.

22.12. Один из углов прямоугольного треугольника равен $15^\circ$. Докажите, что высота треугольника, проведённая к его гипотенузе, в 4 раза

меньше гипотенузы.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$. Пусть один из его острых углов равен $15^\circ$, например, $\angle A = 15^\circ$. Тогда другой острый угол $\angle B = 90^\circ - 15^\circ = 75^\circ$. Проведём из вершины $C$ высоту $CH$ на гипотенузу $AB$. Нам необходимо доказать, что длина высоты $CH$ в четыре раза меньше длины гипотенузы $AB$, то есть $CH = \frac{1}{4} AB$.

Для доказательства проведём из вершины прямого угла $C$ медиану $CM$ к гипотенузе $AB$. Точка $M$ является серединой гипотенузы.

Согласно свойству медианы в прямоугольном треугольнике, проведённой к гипотенузе, её длина равна половине гипотенузы. Таким образом, мы имеем равенство:

$CM = AM = BM = \frac{1}{2} AB$

Рассмотрим треугольник $AMC$. Так как $CM = AM$, этот треугольник является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, угол $\angle ACM$ равен углу $\angle CAM$:

$\angle ACM = \angle CAM = 15^\circ$

Теперь найдём величину угла $\angle CMB$. Этот угол является внешним для треугольника $AMC$. По свойству внешнего угла треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

$\angle CMB = \angle CAM + \angle ACM = 15^\circ + 15^\circ = 30^\circ$

Далее рассмотрим треугольник $CMH$. Поскольку $CH$ — это высота, проведённая к стороне $AB$, то угол $\angle CHM$ является прямым, $\angle CHM = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $CMH$ — прямоугольный.

В прямоугольном треугольнике $CMH$ мы знаем, что $\angle CMH = \angle CMB = 30^\circ$. Катет $CH$ лежит напротив этого угла. По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. В треугольнике $CMH$ гипотенузой является сторона $CM$. Значит:

$CH = \frac{1}{2} CM$

Вспомним, что $CM = \frac{1}{2} AB$. Подставим это выражение в предыдущее равенство:

$CH = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} AB \right) = \frac{1}{4} AB$

Таким образом, мы доказали, что высота треугольника, проведённая к его гипотенузе, в 4 раза меньше гипотенузы, что и требовалось доказать.

Ответ: Высота треугольника, проведённая к его гипотенузе, в 4 раза меньше гипотенузы.