Номер 7, страница 168 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 7, страница 168.

Условие.

22.7. Высота равнобедренного тупоугольного треугольника, проведённая к его основанию, равна 8 см, а радиус описанной около него окружности – 13 см. Найдите боковую сторону треугольника.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дан равнобедренный тупоугольный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC$. Пусть $BH$ – высота, проведённая к основанию $AC$. По условию, $BH = 8$ см. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой и биссектрисой. Следовательно, $H$ – середина $AC$, и $BH \perp AC$.

Пусть $O$ – центр описанной окружности. Радиус этой окружности $R = 13$ см. Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный, центр описанной окружности лежит на высоте $BH$ (или её продолжении). Так как треугольник тупоугольный, центр описанной окружности находится вне треугольника. В равнобедренном треугольнике тупым может быть только угол при вершине, противолежащей основанию (угол $B$). Это означает, что центр $O$ и вершина $B$ лежат по разные стороны от основания $AC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. Нам нужно найти гипотенузу $BC$ (боковую сторону). Один катет нам известен: $BH = 8$ см. Найдём второй катет $HC$.

Для нахождения $HC$ воспользуемся свойствами описанной окружности. Точки $A$, $B$, $C$ лежат на окружности, поэтому расстояния от центра $O$ до вершин равны радиусу: $OA = OB = OC = R = 13$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OHC$. Его гипотенуза – это радиус $OC = 13$ см. Катеты – $OH$ и $HC$. Нам нужно найти длину отрезка $OH$.

Точки $B$, $H$, $O$ лежат на одной прямой. Поскольку $B$ и $O$ находятся по разные стороны от прямой $AC$, точка $H$ лежит между $B$ и $O$. Расстояние от центра $O$ до вершины $B$ равно радиусу, то есть $OB = R = 13$ см. Это расстояние можно представить как сумму длин отрезков $BH$ и $OH$:

$OB = BH + OH$

Подставим известные значения:

$13 = 8 + OH$

Отсюда находим $OH$:

$OH = 13 - 8 = 5$ см.

Теперь, зная два элемента в прямоугольном треугольнике $OHC$ (гипотенузу $OC=13$ и катет $OH=5$), по теореме Пифагора найдём катет $HC$:

$OC^2 = OH^2 + HC^2$

$13^2 = 5^2 + HC^2$

$169 = 25 + HC^2$

$HC^2 = 169 - 25 = 144$

$HC = \sqrt{144} = 12$ см.

Наконец, вернёмся к прямоугольному треугольнику $BHC$. Мы знаем оба катета: $BH = 8$ см и $HC = 12$ см. По теореме Пифагора найдём гипотенузу $BC$, которая является боковой стороной исходного треугольника:

$BC^2 = BH^2 + HC^2$

$BC^2 = 8^2 + 12^2 = 64 + 144 = 208$

$BC = \sqrt{208} = \sqrt{16 \cdot 13} = 4\sqrt{13}$ см.

Ответ: $4\sqrt{13}$ см.