Номер 14, страница 168 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 14, страница 168.

Условие.

22.14. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Найдите сторону $AB$, если $AO = 18$ см, $BC : AD = 5 : 9$.

Решение 1.

Решение 3.

Рассмотрим треугольники $ \triangle OAD $ и $ \triangle OBC $, которые образовались при продолжении боковых сторон $ AB $ и $ CD $ трапеции $ ABCD $ до их пересечения в точке $ O $.

Так как $ ABCD $ является трапецией, её основания $ BC $ и $ AD $ параллельны ($ BC \parallel AD $). Это означает, что $ \triangle OBC $ подобен $ \triangle OAD $ по двум углам (первый признак подобия):
1. Угол $ \angle O $ является общим для обоих треугольников.
2. Углы $ \angle OBC $ и $ \angle OAD $ равны как соответственные углы, образованные при пересечении параллельных прямых $ BC $ и $ AD $ секущей $ AO $.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон: $ \frac{OB}{OA} = \frac{OC}{OD} = \frac{BC}{AD} $

Согласно условию задачи, $ AO = 18 $ см и $ BC : AD = 5 : 9 $. Из отношения $ BC : AD $ следует, что $ \frac{BC}{AD} = \frac{5}{9} $.

Подставим известные значения в полученную пропорцию для сторон: $ \frac{OB}{OA} = \frac{BC}{AD} $ $ \frac{OB}{18} = \frac{5}{9} $

Теперь найдём длину отрезка $ OB $: $ OB = 18 \cdot \frac{5}{9} = 2 \cdot 5 = 10 $ см.

Поскольку точка $ B $ лежит на отрезке $ AO $, то длина стороны $ AB $ трапеции вычисляется как разность длин отрезков $ AO $ и $ OB $: $ AB = AO - OB = 18 - 10 = 8 $ см.

Ответ: 8 см.