Номер 9, страница 168 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 9, страница 168.

Условие.

22.9. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит его гипотенузу на отрезки 8 см и 12 см. Найдите периметр треугольника.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть отрезки, на которые точка касания делит гипотенузу, равны $m = 8$ см и $n = 12$ см. Тогда длина гипотенузы $c$ равна их сумме:
$c = m + n = 8 + 12 = 20$ см.

По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки, отрезки от вершин острых углов треугольника до точек касания на катетах также равны $m$ и $n$. Отрезки от вершины прямого угла до точек касания на катетах равны радиусу вписанной окружности $r$.
Таким образом, катеты треугольника $a$ и $b$ равны:
$a = 8 + r$
$b = 12 + r$

Применим к треугольнику теорему Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$ и подставим выражения для сторон:
$(8 + r)^2 + (12 + r)^2 = 20^2$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$64 + 16r + r^2 + 144 + 24r + r^2 = 400$
$2r^2 + 40r + 208 = 400$
$2r^2 + 40r - 192 = 0$
Разделим обе части уравнения на 2:
$r^2 + 20r - 96 = 0$
Решая это квадратное уравнение (например, по теореме Виета), находим корни $r_1 = 4$ и $r_2 = -24$. Поскольку радиус должен быть положительным, получаем $r = 4$ см.

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин всех его сторон:
$P = a + b + c = (8 + r) + (12 + r) + 20 = 40 + 2r$
Подставляя найденное значение $r = 4$:
$P = 40 + 2 \cdot 4 = 40 + 8 = 48$ см.
Ответ: 48 см.