Номер 3, страница 167 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 3, страница 167.

Условие.

22.3. Высота равнобедренного треугольника делит его боковую сторону на отрезки длиной 1 см и 12 см, считая от вершины угла при основании. Найдите основание данного треугольника.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC$.

Проведем высоту $AH$ из вершины угла при основании $A$ к боковой стороне $BC$. Так как углы при основании равнобедренного треугольника острые, основание высоты $H$ будет лежать на отрезке $BC$.

По условию задачи, высота делит боковую сторону на отрезки длиной 1 см и 12 см, считая от вершины угла при основании. Вершина угла при основании, лежащая на стороне $BC$, — это вершина $C$. Следовательно, отрезки, на которые высота $AH$ делит сторону $BC$, это $CH$ и $HB$.

Согласно условию, $CH = 1$ см и $HB = 12$ см.

Длина боковой стороны $BC$ равна сумме длин этих отрезков:
$BC = CH + HB = 1 + 12 = 13$ см.

Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный, его боковые стороны равны:
$AB = BC = 13$ см.

Обозначим длину основания $AC$ через $x$.

Высота $AH$ образует два прямоугольных треугольника: $\triangle AHC$ и $\triangle AHB$. Мы можем выразить квадрат высоты $AH^2$ для каждого из этих треугольников, используя теорему Пифагора.

1. В прямоугольном треугольнике $AHC$ ($ \angle AHC = 90^\circ $):
$AC^2 = AH^2 + CH^2$
$AH^2 = AC^2 - CH^2 = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$.

2. В прямоугольном треугольнике $AHB$ ($ \angle AHB = 90^\circ $):
$AB^2 = AH^2 + HB^2$
$AH^2 = AB^2 - HB^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$.

Теперь приравняем два полученных выражения для $AH^2$:

$x^2 - 1 = 25$

Решим это уравнение относительно $x$:

$x^2 = 25 + 1$
$x^2 = 26$
$x = \sqrt{26}$ (длина стороны может быть только положительной).

Таким образом, длина основания треугольника равна $\sqrt{26}$ см.

Ответ: $\sqrt{26}$ см.