Номер 96, страница 167 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 96, страница 167.

Условие.

21.96. Высота и объём усечённого конуса равны высоте и объёму цилиндра. Радиусы оснований усечённого конуса равны 2 см и 11 см. Найдите радиус основания цилиндра.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть высота усечённого конуса и цилиндра равна $h$. Радиусы оснований усечённого конуса равны $r_1 = 2$ см и $r_2 = 11$ см. Обозначим искомый радиус основания цилиндра как $R$.

Объём усечённого конуса вычисляется по формуле:

$V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2)$

Объём цилиндра вычисляется по формуле:

$V_{цилиндра} = \pi R^2 h$

По условию задачи, высота и объём усечённого конуса равны высоте и объёму цилиндра. Это означает, что $V_{конуса} = V_{цилиндра}$. Приравняем правые части формул:

$\frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2) = \pi R^2 h$

Поскольку высота $h$ у обоих тел одинакова и не равна нулю, а также $\pi$ - константа, мы можем сократить обе части уравнения на $\pi h$:

$\frac{1}{3} (r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2) = R^2$

Подставим известные значения радиусов оснований усечённого конуса $r_1 = 2$ см и $r_2 = 11$ см:

$R^2 = \frac{1}{3} (2^2 + 2 \cdot 11 + 11^2)$

Выполним вычисления:

$R^2 = \frac{1}{3} (4 + 22 + 121)$

$R^2 = \frac{1}{3} \cdot 147$

$R^2 = 49$

Найдём радиус $R$, извлекая квадратный корень. Так как радиус не может быть отрицательным, берём только положительное значение:

$R = \sqrt{49} = 7$

Следовательно, радиус основания цилиндра равен 7 см.

Ответ: 7 см.