Номер 90, страница 166 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 90, страница 166.

Условие.

21.90. Стороны оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равны $a$ и $b$, $a > b$. Двугранный угол пирамиды при ребре большего основания равен $\alpha$. Найдите объём усечённой пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} H (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$

где $H$ – высота пирамиды, а $S_1$ и $S_2$ – площади её оснований.

По условию, пирамида правильная четырёхугольная, следовательно, её основаниями являются квадраты. Стороны оснований равны $a$ и $b$. Тогда площади оснований равны:

$S_1 = a^2$ (площадь большего основания)

$S_2 = b^2$ (площадь меньшего основания)

Подставим эти значения в формулу объёма:

$V = \frac{1}{3} H (a^2 + b^2 + \sqrt{a^2 b^2}) = \frac{1}{3} H (a^2 + ab + b^2)$

Теперь найдём высоту $H$. Для этого рассмотрим осевое сечение пирамиды, перпендикулярное стороне основания. Такое сечение представляет собой равнобедренную трапецию, у которой основаниями служат высоты противоположных боковых граней, а боковыми сторонами - ребра пирамиды. Более удобным для нахождения высоты является сечение, проходящее через центры оснований и середины двух противоположных сторон оснований. Это сечение - равнобедренная трапеция, основания которой равны сторонам оснований пирамиды, т.е. $a$ и $b$. Нет, это неверно. Сечение, проходящее через апофемы противоположных граней, является равнобедренной трапецией. Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры большего и меньшего оснований. Высота пирамиды $H=O_1O_2$. Апофемы оснований — это радиусы вписанных в них окружностей: $r_1 = \frac{a}{2}$ и $r_2 = \frac{b}{2}$.

В сечении, проходящем через апофемы оснований, мы получим прямоугольную трапецию, если рассмотрим проекцию. Давайте рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, апофемой боковой грани и проекцией апофемы на большее основание. Двугранный угол $\alpha$ при ребре большего основания — это угол между боковой гранью и плоскостью этого основания. Этот угол как раз и является углом в нашем рассмотрении.

Сделаем дополнительное построение. Проведём высоту из вершины меньшего основания трапеции сечения на большее. Получим прямоугольный треугольник, у которого один катет равен высоте усечённой пирамиды $H$, а другой катет равен разности полусторон оснований (или разности апофем оснований):

$\frac{a}{2} - \frac{b}{2} = \frac{a-b}{2}$

В этом прямоугольном треугольнике угол, прилежащий к катету $\frac{a-b}{2}$, равен данному двугранному углу $\alpha$. Тогда из определения тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике имеем:

$\tan \alpha = \frac{H}{\frac{a-b}{2}}$

Отсюда выразим высоту $H$:

$H = \frac{a-b}{2} \tan \alpha$

Подставим найденное выражение для высоты $H$ в формулу объёма:

$V = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{a-b}{2} \tan \alpha\right) \cdot (a^2 + ab + b^2)$

Используя формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, упростим полученное выражение:

$V = \frac{1}{6} (a^3 - b^3) \tan \alpha$

Ответ: $V = \frac{1}{6} (a^3 - b^3) \tan \alpha$