Номер 87, страница 166 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 87, страница 166.

Условие.

21.87. Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 10 см, 17 см и 21 см, а двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $45^\circ$. Найдите объём пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Для нахождения объема пирамиды используется формула $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $H$ — высота пирамиды. Решение задачи можно разделить на несколько шагов.

1. Вычисление площади основания пирамиды

Основанием пирамиды является треугольник со сторонами $a=10$ см, $b=17$ см и $c=21$ см. Для вычисления его площади воспользуемся формулой Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр треугольника.

Найдем полупериметр $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{10+17+21}{2} = \frac{48}{2} = 24$ см.

Теперь подставим значения в формулу Герона для нахождения площади основания $S_{осн}$:

$S_{осн} = \sqrt{24(24-10)(24-17)(24-21)} = \sqrt{24 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 3}$

$S_{осн} = \sqrt{(8 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 7) \cdot 7 \cdot 3} = \sqrt{16 \cdot 9 \cdot 49} = 4 \cdot 3 \cdot 7 = 84$ см².

2. Определение высоты пирамиды

В условии сказано, что все двугранные углы при ребрах основания равны $45^\circ$. Это свойство означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в треугольник основания. В этом случае высота пирамиды $H$ связана с радиусом вписанной окружности $r$ и величиной двугранного угла $\alpha$ следующим соотношением:

$H = r \cdot \tan(\alpha)$

Поскольку $\alpha = 45^\circ$, а $\tan(45^\circ) = 1$, то высота пирамиды равна радиусу вписанной в основание окружности: $H = r$.

Радиус вписанной окружности $r$ можно найти по формуле $r = \frac{S_{осн}}{p}$:

$r = \frac{84}{24} = \frac{7}{2} = 3.5$ см.

Следовательно, высота пирамиды $H$ также равна $3.5$ см.

3. Вычисление объема пирамиды

Теперь, зная площадь основания и высоту, мы можем вычислить объем пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 84 \cdot 3.5 = 28 \cdot 3.5 = 98$ см³.

Ответ: $98$ см³.