Номер 82, страница 166 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 82, страница 166.

Условие.

21.82. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$. Точки $E, F, M$ и $K$ – середины рёбер $AB, BC, CD$ и $AD$ соответственно. Найдите объём пирамиды $B_1EFMK$.

Решение 1.

Решение 3.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

В пирамиде $B_1EFMK$ основанием является четырёхугольник $EFMK$, а вершиной — точка $B_1$.

1. Найдём площадь основания $S_{EFMK}$.
Основание пирамиды, четырёхугольник $EFMK$, лежит в плоскости нижнего основания куба $(ABC)$. Точки $E, F, M, K$ являются серединами рёбер $AB, BC, CD$ и $AD$ квадрата $ABCD$ со стороной $a$.

Рассмотрим квадрат $ABCD$. Отрезки $EF, FM, MK, KE$ являются средними линиями в треугольниках, образованных диагоналями квадрата. Например, $EF$ — средняя линия треугольника $ABC$, поэтому $EF$ параллелен $AC$ и $EF = \frac{1}{2}AC$. Аналогично, $MK$ — средняя линия треугольника $ADC$, поэтому $MK$ параллелен $AC$ и $MK = \frac{1}{2}AC$. Таким образом, $EF \parallel MK$ и $EF = MK$. Значит, $EFMK$ — параллелограмм.

Диагональ квадрата $ABCD$ равна $AC = BD = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$. Следовательно, $EF = MK = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. Аналогично, $FK$ — средняя линия треугольника $BCD$, а $EM$ — средняя линия треугольника $ABD$. Поэтому $FK \parallel BD$, $EM \parallel BD$ и $FK = EM = \frac{1}{2}BD = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. Так как диагонали квадрата $AC$ и $BD$ перпендикулярны, то и стороны параллелограмма $EFMK$ взаимно перпендикулярны ($EF \perp FK$, так как $EF \parallel AC$ и $FK \parallel BD$). Следовательно, $EFMK$ — прямоугольник, у которого все стороны равны $\frac{a\sqrt{2}}{2}$, то есть $EFMK$ — квадрат.

Площадь основания $S_{EFMK}$ равна: $S_{EFMK} = EF^2 = \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{a^2 \cdot 2}{4} = \frac{a^2}{2}$.

*Другой способ найти площадь основания:* Площадь квадрата $EFMK$ можно найти, вычтя из площади большого квадрата $ABCD$ площади четырёх равных прямоугольных треугольников по углам: $\triangle AEK, \triangle EBF, \triangle FCM, \triangle MDK$. Катеты каждого такого треугольника равны $\frac{a}{2}$. Площадь одного такого треугольника: $S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{8}$. Площадь основания: $S_{EFMK} = S_{ABCD} - 4 \cdot S_{\triangle} = a^2 - 4 \cdot \frac{a^2}{8} = a^2 - \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{2}$.

2. Найдём высоту пирамиды $H$.
Высота пирамиды $B_1EFMK$ — это перпендикуляр, опущенный из вершины $B_1$ на плоскость основания $(ABC)$. Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб, ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$. Следовательно, длина ребра $BB_1$ является высотой пирамиды. $H = BB_1 = a$.

3. Вычислим объём пирамиды.
Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу объёма пирамиды: $V_{B_1EFMK} = \frac{1}{3} S_{EFMK} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2}{2} \cdot a = \frac{a^3}{6}$.

Ответ: $\frac{a^3}{6}$.