Номер 80, страница 165 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 80, страница 165.

Условие.

21.80. Боковое ребро наклонной треугольной призмы равно 10 см. Две боковые грани призмы перпендикулярны, а их площади равны 50 $ \text{см}^2 $ и 120 $ \text{см}^2 $. Найдите объём призмы.

Решение 1.

Решение 3.

Объём наклонной призмы вычисляется по формуле:

$V = S_{\perp} \cdot L$

где $L$ — длина бокового ребра, а $S_{\perp}$ — площадь перпендикулярного сечения призмы (сечения, построенного плоскостью, перпендикулярной боковым рёбрам).

Из условия задачи нам известна длина бокового ребра: $L = 10$ см.

Перпендикулярным сечением данной треугольной призмы является треугольник. Пусть его стороны равны $a, b, c$. Площадь каждой боковой грани призмы (которая является параллелограммом) равна произведению длины бокового ребра на соответствующую сторону перпендикулярного сечения. То есть, если площади боковых граней равны $S_a, S_b, S_c$, то:

$S_a = a \cdot L$

$S_b = b \cdot L$

$S_c = c \cdot L$

Нам даны площади двух боковых граней: $S_1 = 50$ см² и $S_2 = 120$ см². Найдем соответствующие стороны перпендикулярного сечения (обозначим их $a$ и $b$):

$a = \frac{S_1}{L} = \frac{50 \text{ см}^2}{10 \text{ см}} = 5$ см

$b = \frac{S_2}{L} = \frac{120 \text{ см}^2}{10 \text{ см}} = 12$ см

По условию, эти две боковые грани перпендикулярны. Угол между двумя боковыми гранями призмы равен углу между соответствующими сторонами перпендикулярного сечения. Следовательно, стороны $a$ и $b$ перпендикулярны, то есть угол между ними составляет $90^\circ$.

Таким образом, перпендикулярное сечение — это прямоугольный треугольник, катеты которого равны $a = 5$ см и $b = 12$ см. Площадь этого треугольника $S_{\perp}$ равна:

$S_{\perp} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$ см²

Теперь мы можем найти объём призмы:

$V = S_{\perp} \cdot L = 30 \text{ см}^2 \cdot 10 \text{ см} = 300$ см³

Ответ: 300 см³.