Номер 81, страница 165 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 81, страница 165.

Условие.

21.81. Основанием наклонной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является ромб $ABCD$, $AB = AA_1 = 4$ см, $\angle BAD = 60^{\circ}$. Известно, что $\angle A_1AB = \angle A_1AD = 45^{\circ}$. Найдите объём призмы.

Решение 1.

Решение 3.

Объем наклонной призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы. Для нахождения объема выполним следующие шаги.

1. Нахождение площади основания

Основанием призмы является ромб $ABCD$. Сторона ромба $AB = 4$ см, а угол между сторонами $\angle BAD = 60^\circ$. Площадь ромба вычисляется по формуле:

$S_{осн} = AB^2 \cdot \sin(\angle BAD)$

Подставим известные значения:

$S_{осн} = 4^2 \cdot \sin(60^\circ) = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}$ см$^2$.

2. Нахождение высоты призмы

Высота призмы $H$ — это длина перпендикуляра, опущенного из вершины $A_1$ на плоскость основания $ABCD$. Обозначим этот перпендикуляр $A_1O$, тогда $H = A_1O$.

Из условия известно, что боковое ребро $AA_1$ образует равные углы со сторонами основания $AB$ и $AD$: $\angle A_1AB = \angle A_1AD = 45^\circ$. Так как стороны $AB$ и $AD$ равны ($ABCD$ — ромб), то проекция точки $A_1$ на плоскость основания, точка $O$, лежит на биссектрисе угла $\angle BAD$. В ромбе биссектрисой является диагональ $AC$. Следовательно, точка $O$ лежит на диагонали $AC$.

Опустим перпендикуляр $A_1M$ из точки $A_1$ на прямую $AB$. В прямоугольном треугольнике $\triangle A_1MA$ найдем катет $AM$:

$AM = AA_1 \cdot \cos(\angle A_1AB) = 4 \cdot \cos(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.

По теореме о трех перпендикулярах, так как $A_1O$ перпендикулярно плоскости $(ABCD)$, а наклонная $A_1M$ перпендикулярна прямой $AB$ в этой плоскости, то проекция $OM$ также перпендикулярна прямой $AB$. Таким образом, $\triangle AMO$ — прямоугольный с прямым углом при $M$.

Угол $\angle MAO$ равен половине угла $\angle BAD$, так как $AO$ — часть биссектрисы $AC$: $\angle MAO = \frac{1}{2}\angle BAD = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

Из прямоугольного треугольника $\triangle AMO$ найдем гипотенузу $AO$:

$AO = \frac{AM}{\cos(\angle MAO)} = \frac{2\sqrt{2}}{\cos(30^\circ)} = \frac{2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle A_1OA$ (прямой угол при $O$). По теореме Пифагора найдем высоту $H = A_1O$:

$H^2 = AA_1^2 - AO^2 = 4^2 - \left(\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)^2 = 16 - \frac{16 \cdot 2}{3} = 16 - \frac{32}{3} = \frac{48 - 32}{3} = \frac{16}{3}$

Отсюда $H = \sqrt{\frac{16}{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ см.

3. Вычисление объема призмы

Зная площадь основания и высоту, находим объем призмы:

$V = S_{осн} \cdot H = 8\sqrt{3} \cdot \frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{8 \cdot 4 \cdot (\sqrt{3})^2}{3} = \frac{32 \cdot 3}{3} = 32$ см$^3$.

Ответ: $32$ см$^3$.