Номер 78, страница 165 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 78, страница 165.

Условие.

21.78. Дана прямая призма $ABCA_1B_1C_1$. Известно, что $\angle ACB = 90^\circ$, $AC = 4$ см, угол между плоскостями $ABC$ и $AB_1C$ равен $45^\circ$, а расстояние от вершины $B$ до плоскости $AB_1C$ - $3\sqrt{2}$ см. Найдите объём призмы.

Решение 1.

Решение 3.

Объём прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы.

Основанием данной призмы является прямоугольный треугольник $ABC$ (по условию $\angle ACB = 90^\circ$), его площадь равна $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC$. Высота прямой призмы равна её боковому ребру, $h = BB_1 = CC_1$. Таким образом, для нахождения объёма необходимо определить длины катета $BC$ и высоты призмы $BB_1$.

Нахождение соотношения между высотой призмы и катетом основания

Угол между плоскостями $(ABC)$ и $(AB_1C)$ является двугранным углом, образованным этими плоскостями. Линией пересечения данных плоскостей является прямая $AC$.

Для нахождения линейного угла этого двугранного угла построим перпендикуляры к линии пересечения $AC$ в каждой из плоскостей, проведённые из одной точки. В качестве такой точки выберем вершину $C$.

1. В плоскости основания $(ABC)$ катет $BC$ перпендикулярен катету $AC$, так как $\angle ACB = 90^\circ$. Таким образом, $BC \perp AC$.

2. Так как призма прямая, её боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$, и, следовательно, $CC_1 \perp AC$. Прямые $BC$ и $CC_1$ пересекаются в точке $C$ и определяют плоскость боковой грани $(BCC_1B_1)$. Поскольку прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BC$ и $CC_1$) в этой плоскости, то $AC$ перпендикулярна всей плоскости $(BCC_1B_1)$. Прямая $B_1C$ является диагональю этой грани и, следовательно, лежит в этой плоскости. Отсюда следует, что $AC \perp B_1C$.

Линейным углом двугранного угла между плоскостями $(ABC)$ и $(AB_1C)$ является угол между перпендикулярами $BC$ и $B_1C$, то есть $\angle B_1CB$. По условию, $\angle B_1CB = 45^\circ$.

Рассмотрим треугольник $B_1BC$. Так как призма прямая, ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$, а значит, $BB_1 \perp BC$. Следовательно, $\triangle B_1BC$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $B$. В этом треугольнике:$\tan(\angle B_1CB) = \frac{BB_1}{BC}$.

Поскольку $\angle B_1CB = 45^\circ$, то $\tan(45^\circ) = 1$. Отсюда следует, что $\frac{BB_1}{BC} = 1$, или $BB_1 = BC$.

Вычисление неизвестных размеров призмы

Пусть $BC = BB_1 = x$. По условию, расстояние от вершины $B$ до плоскости $(AB_1C)$ равно $3\sqrt{2}$ см. Для нахождения $x$ воспользуемся методом объёмов для тетраэдра $AB_1CB$.

Объём тетраэдра можно выразить двумя способами:

1. Если в качестве основания взять $\triangle ABC$, то высотой будет являться отрезок $BB_1$.$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot x = 2x$.$V_{AB_1CB} = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot BB_1 = \frac{1}{3} \cdot 2x \cdot x = \frac{2}{3}x^2$.

2. Если в качестве основания взять $\triangle AB_1C$, то высотой будет данное в условии расстояние от точки $B$ до этой плоскости, то есть $d = 3\sqrt{2}$ см.Площадь $\triangle AB_1C$ найдём, зная, что он прямоугольный (так как мы доказали, что $B_1C \perp AC$).$S_{AB_1C} = \frac{1}{2} AC \cdot B_1C$.Катет $B_1C$ является гипотенузой в прямоугольном $\triangle B_1BC$:$B_1C = \sqrt{BC^2 + BB_1^2} = \sqrt{x^2 + x^2} = \sqrt{2x^2} = x\sqrt{2}$.Тогда $S_{AB_1C} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot x\sqrt{2} = 2x\sqrt{2}$.Объём тетраэдра: $V_{AB_1CB} = \frac{1}{3} S_{AB_1C} \cdot d = \frac{1}{3} \cdot (2x\sqrt{2}) \cdot (3\sqrt{2}) = \frac{1}{3} \cdot 2x \cdot 6 = 4x$.

Приравняем два полученных выражения для объёма тетраэдра:$\frac{2}{3}x^2 = 4x$.

Так как $x$ — это длина ребра, $x>0$, мы можем разделить обе части уравнения на $x$:$\frac{2}{3}x = 4 \implies x = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$.

Таким образом, мы нашли, что $BC = 6$ см и высота призмы $h = BB_1 = 6$ см.

Вычисление объёма призмы

Теперь мы можем найти объём призмы.Площадь основания: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 = 12$ см$^2$.Высота призмы: $h = 6$ см.Объём призмы: $V = S_{ABC} \cdot h = 12 \cdot 6 = 72$ см$^3$.

Ответ: $72$ см$^3$.