Номер 72, страница 165 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 72, страница 165.

Условие.

21.72. Образующая конуса равна 20 см, а площадь его боковой поверхности – $240\pi$ $см^2$. Найдите радиус сферы, вписанной в данный конус.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $l$ — образующая конуса, $R$ — радиус его основания, $H$ — высота, а $r$ — радиус вписанной сферы. По условию, $l = 20$ см, а площадь боковой поверхности $S_{бок} = 240\pi$ см².

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R l$. Используя данные из условия, найдем радиус основания конуса:

$240\pi = \pi \cdot R \cdot 20$

$R = \frac{240\pi}{20\pi} = 12$ см.

Высота конуса $H$, радиус основания $R$ и образующая $l$ связаны теоремой Пифагора: $l^2 = H^2 + R^2$. Найдем высоту конуса:

$H^2 = l^2 - R^2 = 20^2 - 12^2 = 400 - 144 = 256$

$H = \sqrt{256} = 16$ см.

Для нахождения радиуса вписанной сферы рассмотрим осевое сечение конуса, которое представляет собой равнобедренный треугольник с основанием $2R$, боковыми сторонами $l$ и высотой $H$. Сечением вписанной сферы является круг, вписанный в этот треугольник. Радиус этого круга равен радиусу сферы $r$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$ (катет), радиусом основания $R$ (катет) и образующей $l$ (гипотенуза). Центр вписанной сферы лежит на высоте конуса. Проведем радиус сферы $r$ к точке касания с образующей. Этот радиус будет перпендикулярен образующей.

В осевом сечении образуются два подобных прямоугольных треугольника: один (большой) с катетами $H$ и $R$ и гипотенузой $l$, а другой (малый), образованный радиусом сферы $r$, отрезком образующей от вершины до точки касания, и отрезком высоты от вершины до центра сферы. Гипотенуза малого треугольника равна $H-r$.

Из подобия этих треугольников (по общему острому углу при вершине конуса) следует соотношение соответствующих сторон:

$\frac{r}{R} = \frac{H-r}{l}$

Подставим известные значения в эту пропорцию:

$\frac{r}{12} = \frac{16-r}{20}$

Решим полученное уравнение относительно $r$:

$20 \cdot r = 12 \cdot (16-r)$

$20r = 192 - 12r$

$32r = 192$

$r = \frac{192}{32} = 6$ см.

Ответ: 6 см.