Номер 79, страница 165 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 79, страница 165.

Условие.

21.79. Высота прямой четырёхугольной призмы равна $h$. Диагонали призмы образуют с плоскостью основания углы $\alpha$ и $\beta$, а угол между диагоналями основания равен $\gamma$. Найдите объём призмы.

Решение 1.

Решение 3.

Объем прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

По условию задачи, высота призмы равна $h$, то есть $H = h$. Следовательно, для нахождения объема нам необходимо найти площадь основания $S_{осн}$.

Основанием призмы является произвольный четырехугольник. Площадь такого четырехугольника можно вычислить по формуле через его диагонали $d_1$ и $d_2$ и угол $\gamma$ между ними:

$S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin(\gamma)$

Найдем длины диагоналей основания $d_1$ и $d_2$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю призмы, ее проекцией на основание (которая является диагональю основания) и боковым ребром призмы (которое равно высоте $h$). Угол между диагональю призмы и плоскостью основания по условию равен $\alpha$. В этом треугольнике высота $h$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$, а диагональ основания $d_1$ — прилежащим катетом.

Из соотношения в прямоугольном треугольнике имеем:

$\tan(\alpha) = \frac{h}{d_1}$

Отсюда выражаем длину диагонали основания $d_1$:

$d_1 = \frac{h}{\tan(\alpha)} = h \cot(\alpha)$

Аналогично для второй диагонали призмы и ее проекции на основание $d_2$. Угол между ними равен $\beta$.

$\tan(\beta) = \frac{h}{d_2}$

Выражаем длину второй диагонали основания $d_2$:

$d_2 = \frac{h}{\tan(\beta)} = h \cot(\beta)$

Теперь подставим найденные выражения для $d_1$ и $d_2$ в формулу площади основания:

$S_{осн} = \frac{1}{2} (h \cot(\alpha)) (h \cot(\beta)) \sin(\gamma) = \frac{1}{2} h^2 \cot(\alpha) \cot(\beta) \sin(\gamma)$

Наконец, вычислим объем призмы, умножив площадь основания на высоту $h$:

$V = S_{осн} \cdot h = \left(\frac{1}{2} h^2 \cot(\alpha) \cot(\beta) \sin(\gamma)\right) \cdot h = \frac{1}{2} h^3 \cot(\alpha) \cot(\beta) \sin(\gamma)$

Ответ: $V = \frac{1}{2} h^3 \cot(\alpha) \cot(\beta) \sin(\gamma)$.