Номер 83, страница 166 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 83, страница 166.

Условие.

21.83. Площадь диагонального сечения правильной четырёхугольной пирамиды равна $S$, а угол между боковым ребром и плоскостью основания равен $45^\circ$. Найдите объём пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида PABCD с вершиной P и основанием ABCD. Так как пирамида правильная, ее основание ABCD — квадрат, а высота PO, где O — точка пересечения диагоналей, проектируется в центр основания.

Диагональное сечение пирамиды — это равнобедренный треугольник PAC. Его площадь по условию равна S. Площадь этого треугольника вычисляется по формуле:$S_{PAC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot PO$.Обозначим высоту пирамиды $PO = H$ и диагональ основания $AC = d$. Тогда:$S = \frac{1}{2} dH$.

Угол между боковым ребром (например, PC) и плоскостью основания (ABCD) — это угол между ребром PC и его проекцией на плоскость основания, которой является отрезок OC. Следовательно, по условию, угол $\angle PCO = 45^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник POC (угол $\angle POC = 90^\circ$). В этом треугольнике:$PO = H$ (катет),$OC = \frac{AC}{2} = \frac{d}{2}$ (катет).Тангенс угла $\angle PCO$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:$\tan(\angle PCO) = \frac{PO}{OC} = \frac{H}{d/2} = \frac{2H}{d}$.Поскольку $\angle PCO = 45^\circ$, а $\tan(45^\circ) = 1$, получаем:$\frac{2H}{d} = 1$, откуда $d = 2H$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:1) $S = \frac{1}{2} dH$2) $d = 2H$Подставим второе уравнение в первое:$S = \frac{1}{2} (2H) H = H^2$.Отсюда находим высоту пирамиды: $H = \sqrt{S}$.Тогда диагональ основания равна: $d = 2H = 2\sqrt{S}$.

Объем пирамиды вычисляется по формуле:$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$.Площадь основания $S_{осн}$ — это площадь квадрата ABCD. Площадь квадрата можно найти через его диагональ:$S_{осн} = \frac{d^2}{2}$.Подставим найденное значение $d$:$S_{осн} = \frac{(2\sqrt{S})^2}{2} = \frac{4S}{2} = 2S$.

Теперь можем найти объем пирамиды:$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot (2S) \cdot \sqrt{S} = \frac{2S\sqrt{S}}{3}$.

Ответ: $\frac{2S\sqrt{S}}{3}$.