Номер 86, страница 166 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 86, страница 166.

Условие.

21.86. Центр шара, описанного около правильной треугольной пирамиды, принадлежит плоскости основания пирамиды. Найдите объём пирамиды, если радиус шара равен $2\sqrt{3}$ см.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана правильная треугольная пирамида, в основании которой лежит правильный треугольник ABC, а S — её вершина. Шар описан около этой пирамиды, и его радиус $R = 2\sqrt{3}$ см.

Центр шара, описанного около правильной пирамиды, всегда лежит на её высоте. По условию задачи, центр шара O также лежит в плоскости основания ABC. Следовательно, центр шара O совпадает с центром основания пирамиды. Центром правильного треугольника является точка пересечения его медиан, биссектрис и высот, а также центр описанной и вписанной окружностей.

Так как все вершины пирамиды (A, B, C и S) лежат на поверхности шара, расстояние от центра шара O до любой из этих вершин равно радиусу шара R.

Рассмотрим расстояния от центра O до вершин основания: $OA = OB = OC = R$. Эти отрезки являются радиусами окружности, описанной около треугольника ABC. Таким образом, радиус окружности, описанной около основания пирамиды, равен $R_{осн} = R = 2\sqrt{3}$ см.

Сторона правильного треугольника $a$ связана с радиусом описанной около него окружности $R_{осн}$ соотношением:$R_{осн} = \frac{a}{\sqrt{3}}$Отсюда найдем сторону основания $a$:$a = R_{осн} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 3 = 6$ см.

Теперь вычислим площадь основания пирамиды $S_{осн}$ по формуле площади правильного треугольника:$S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ см².

Высота пирамиды H — это расстояние от вершины S до плоскости основания, то есть длина отрезка SO. Поскольку точка S также лежит на сфере, расстояние от центра O до вершины S равно радиусу шара:$H = SO = R = 2\sqrt{3}$ см.

Найдём объём пирамиды V по формуле:$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$$V = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 6 \cdot (\sqrt{3})^2 = 6 \cdot 3 = 18$ см³.

Ответ: 18 см³.