Номер 85, страница 166 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 85, страница 166.

Условие.

21.85. Основанием пирамиды является треугольник с углами $\alpha$ и $\beta$. Радиус окружности, описанной около основания пирамиды, равен $R$, а каждое боковое ребро образует с плоскостью основания угол $\gamma$. Найдите объём пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Объём пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Нахождение высоты пирамиды (H)

По условию, каждое боковое ребро образует с плоскостью основания один и тот же угол $\gamma$. Это означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания. Пусть $S$ — вершина пирамиды, $O$ — её проекция на плоскость основания, $A$, $B$, $C$ — вершины треугольника в основании. Тогда $O$ — центр описанной окружности, а отрезки $OA$, $OB$, $OC$ являются радиусами этой окружности. По условию, радиус равен $R$, следовательно, $OA = OB = OC = R$.

Высота пирамиды $H = SO$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$ (где $\angle SOA = 90^\circ$). Катет $OA = R$, а угол между боковым ребром $SA$ и его проекцией $OA$ равен $\gamma$, то есть $\angle SAO = \gamma$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:

$\tan \gamma = \frac{SO}{OA} = \frac{H}{R}$

Отсюда находим высоту:

$H = R \cdot \tan \gamma$

2. Нахождение площади основания ($S_{осн}$)

Основанием является треугольник с углами $\alpha$ и $\beta$. Третий угол этого треугольника будет равен $180^\circ - (\alpha + \beta)$ или $\pi - (\alpha + \beta)$ в радианах.

Площадь треугольника можно найти через радиус описанной окружности $R$ и его углы. Воспользуемся обобщённой теоремой синусов. Пусть стороны треугольника, противолежащие углам $\alpha$, $\beta$ и $\pi - (\alpha + \beta)$, равны $a$, $b$ и $c$ соответственно. Тогда:

$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin(\pi - (\alpha + \beta))} = 2R$

Отсюда стороны треугольника равны:

$a = 2R \sin \alpha$

$b = 2R \sin \beta$

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}ab \sin C$, где $C$ — угол между сторонами $a$ и $b$. В нашем случае это третий угол треугольника, равный $\pi - (\alpha + \beta)$.

$S_{осн} = \frac{1}{2} a \cdot b \cdot \sin(\pi - (\alpha + \beta))$

Поскольку $\sin(\pi - x) = \sin x$, получаем:

$S_{осн} = \frac{1}{2} (2R \sin \alpha) (2R \sin \beta) \sin(\alpha + \beta)$

$S_{осн} = 2R^2 \sin \alpha \sin \beta \sin(\alpha + \beta)$

3. Вычисление объёма пирамиды (V)

Теперь подставим найденные значения $S_{осн}$ и $H$ в формулу для объёма пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot (2R^2 \sin \alpha \sin \beta \sin(\alpha + \beta)) \cdot (R \tan \gamma)$

Окончательно получаем:

$V = \frac{2}{3} R^3 \sin \alpha \sin \beta \sin(\alpha + \beta) \tan \gamma$

Ответ: $V = \frac{2}{3} R^3 \sin \alpha \sin \beta \sin(\alpha + \beta) \tan \gamma$