Номер 89, страница 166 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 89, страница 166.

Условие.

21.89. Основанием пирамиды $DABC$ является треугольник $ABC$, в котором $AB = BC$, $\angle ABC = \alpha$. Грань $ADC$ перпендикулярна основанию пирамиды, а грани $ABD$ и $CBD$ образуют с основанием угол $\beta$. Расстояние от основания высоты пирамиды до плоскости $ABD$ равно $m$. Найдите объём пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Объём пирамиды $DABC$ вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot H$, где $S_{ABC}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Нахождение высоты пирамиды и её основания.

Пусть $DH$ — высота пирамиды, опущенная из вершины $D$ на плоскость основания $ABC$. Так как по условию грань $ADC$ перпендикулярна плоскости основания $ABC$, то высота $DH$ лежит в плоскости $ADC$. Следовательно, основание высоты — точка $H$ — лежит на прямой $AC$.

Грани $ABD$ и $CBD$ образуют с основанием одинаковый угол $\beta$. Это означает, что точка $H$ (основание высоты) равноудалена от прямых $AB$ и $BC$, на которых лежат стороны основания. Таким образом, точка $H$ лежит на биссектрисе угла $\angle ABC$.

В треугольнике $ABC$ по условию $AB = BC$, значит, он равнобедренный. Биссектриса угла $\angle ABC$, проведённая из вершины $B$, является также медианой и высотой к основанию $AC$.

Поскольку точка $H$ одновременно лежит на прямой $AC$ и на биссектрисе угла $\angle ABC$, она является точкой их пересечения. Обозначим эту точку $M$. Таким образом, $M$ — середина стороны $AC$, а высота пирамиды — это отрезок $DM$. Обозначим длину высоты $DM = H_{pyr}$.

2. Выражение высоты пирамиды через данные величины.

Угол между плоскостью грани $ABD$ и плоскостью основания $ABC$ — это линейный угол двугранного угла, образованного этими плоскостями. Для его построения из точки $M$ (основание высоты) опустим перпендикуляр $MK$ на прямую $AB$. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах $DK \perp AB$. Следовательно, $\angle DKM$ — линейный угол двугранного угла, и по условию $\angle DKM = \beta$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle DKM$ ( $\angle DMK = 90^\circ$ ).

По условию, расстояние от основания высоты пирамиды (точки $M$) до плоскости $ABD$ равно $m$. Это расстояние равно длине перпендикуляра $MP$, опущенного из точки $M$ на плоскость $ABD$. Так как прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $DKM$ (поскольку $AB \perp MK$ и $AB \perp DK$), то плоскость $ABD$ перпендикулярна плоскости $DKM$. Перпендикуляр из точки $M$ к плоскости $ABD$ лежит в плоскости $DKM$ и перпендикулярен линии их пересечения $DK$. Значит, $MP \perp DK$ и $MP = m$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle MKP$ ( $\angle MPK = 90^\circ$ ), $\angle MKP = \beta$. Находим $MK$:$MK = \frac{MP}{\sin(\beta)} = \frac{m}{\sin(\beta)}$.

Теперь в прямоугольном треугольнике $\triangle DKM$ выразим высоту пирамиды $H_{pyr} = DM$:$H_{pyr} = DM = MK \cdot \tan(\beta) = \frac{m}{\sin(\beta)} \cdot \frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)} = \frac{m}{\cos(\beta)}$.

3. Нахождение площади основания.

Рассмотрим основание пирамиды — равнобедренный треугольник $ABC$. $BM$ — его высота, медиана и биссектриса. Угол $\angle ABC = \alpha$, следовательно, $\angle ABM = \frac{\alpha}{2}$.

В плоскости основания рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BKM$ ( $\angle BKM = 90^\circ$ ). Найдём длину высоты $BM$ треугольника $ABC$:$BM = \frac{MK}{\sin(\angle KBM)} = \frac{MK}{\sin(\alpha/2)} = \frac{m/\sin(\beta)}{\sin(\alpha/2)} = \frac{m}{\sin(\beta)\sin(\alpha/2)}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BMA$ ( $\angle BMA = 90^\circ$ ). Найдём половину основания $AC$:$AM = BM \cdot \tan(\angle ABM) = BM \cdot \tan(\alpha/2) = \frac{m}{\sin(\beta)\sin(\alpha/2)} \cdot \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)} = \frac{m}{\sin(\beta)\cos(\alpha/2)}$.

Тогда длина основания $AC = 2 \cdot AM = \frac{2m}{\sin(\beta)\cos(\alpha/2)}$.

Площадь основания $S_{ABC}$ равна:$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BM = \frac{1}{2} \cdot \frac{2m}{\sin(\beta)\cos(\alpha/2)} \cdot \frac{m}{\sin(\beta)\sin(\alpha/2)} = \frac{m^2}{\sin^2(\beta) \sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)}$.

Используя формулу синуса двойного угла $\sin(\alpha) = 2\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)$, получаем:$S_{ABC} = \frac{m^2}{\sin^2(\beta) \cdot \frac{1}{2}\sin(\alpha)} = \frac{2m^2}{\sin(\alpha)\sin^2(\beta)}$.

4. Вычисление объёма пирамиды.

Подставим найденные значения высоты $H_{pyr}$ и площади основания $S_{ABC}$ в формулу объёма пирамиды:$V = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot H_{pyr} = \frac{1}{3} \cdot \frac{2m^2}{\sin(\alpha)\sin^2(\beta)} \cdot \frac{m}{\cos(\beta)} = \frac{2m^3}{3\sin(\alpha)\sin^2(\beta)\cos(\beta)}$.

Ответ: $V = \frac{2m^3}{3\sin(\alpha)\sin^2(\beta)\cos(\beta)}$