Номер 94, страница 167 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 94, страница 167.

Условие.

21.94. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна $a$, а плоский угол при вершине пирамиды равен $\alpha$. Найдите объём конуса, описанного около данной пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Объём конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$, где $R$ — радиус основания конуса, а $H$ — его высота.

Поскольку конус описан около правильной четырёхугольной пирамиды, их вершины совпадают, а основание конуса является кругом, описанным около основания пирамиды (квадрата со стороной $a$). Таким образом, высота конуса $H$ равна высоте пирамиды, а радиус основания конуса $R$ равен радиусу окружности, описанной около квадрата в основании пирамиды.

1. Найдём радиус основания конуса R.

Радиус $R$ окружности, описанной около квадрата со стороной $a$, равен половине его диагонали $d$. Диагональ квадрата находится по теореме Пифагора: $d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

$R = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Тогда квадрат радиуса равен:

$R^2 = \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{a^2 \cdot 2}{4} = \frac{a^2}{2}$.

2. Найдём высоту конуса H.

Высота конуса $H$ совпадает с высотой пирамиды. Рассмотрим одну из боковых граней пирамиды. Это равнобедренный треугольник с основанием $a$ и боковыми рёбрами, равными $l$. Угол при вершине этого треугольника (плоский угол при вершине пирамиды) равен $\alpha$.

Чтобы найти длину бокового ребра $l$, можно рассмотреть половину этого треугольника, разделив его высотой. Получится прямоугольный треугольник с катетом $\frac{a}{2}$ и противолежащим углом $\frac{\alpha}{2}$. Тогда:

$\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{a/2}{l}$, откуда $l = \frac{a}{2\sin(\frac{\alpha}{2})}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, боковым ребром $l$ (гипотенуза) и радиусом описанной окружности $R$ (катет). По теореме Пифагора:

$H^2 = l^2 - R^2$.

Подставим найденные значения для $l$ и $R$:

$H^2 = \left(\frac{a}{2\sin(\frac{\alpha}{2})}\right)^2 - \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4\sin^2(\frac{\alpha}{2})} - \frac{2a^2}{4}$.

Приведём к общему знаменателю:

$H^2 = \frac{a^2(1 - 2\sin^2(\frac{\alpha}{2}))}{4\sin^2(\frac{\alpha}{2})}$.

Используя тригонометрическую формулу косинуса двойного угла $\cos \alpha = 1 - 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$, получаем:

$H^2 = \frac{a^2 \cos \alpha}{4\sin^2(\frac{\alpha}{2})}$.

Отсюда находим высоту:

$H = \sqrt{\frac{a^2 \cos \alpha}{4\sin^2(\frac{\alpha}{2})}} = \frac{a\sqrt{\cos \alpha}}{2\sin(\frac{\alpha}{2})}$.

3. Вычислим объём конуса V.

Подставим выражения для $R^2$ и $H$ в формулу объёма конуса:

$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{a^2}{2}\right) \left(\frac{a\sqrt{\cos \alpha}}{2\sin(\frac{\alpha}{2})}\right)$.

Упрощая выражение, получаем окончательный ответ:

$V = \frac{\pi a^3 \sqrt{\cos \alpha}}{12\sin(\frac{\alpha}{2})}$.

Ответ: $V = \frac{\pi a^3 \sqrt{\cos \alpha}}{12\sin(\frac{\alpha}{2})}$.