Номер 2, страница 167 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 2, страница 167.

Условие.

22.2. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15 см, а медиана, проведённая к гипотенузе, – 8,5 см. Вычислите площадь данного треугольника.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $a$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника, а $c$ — его гипотенуза. Площадь $S$ прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$

По условию задачи, длина одного из катетов равна 15 см. Пусть $a = 15$ см.

Воспользуемся свойством медианы, проведённой к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. Длина этой медианы ($m_c$) равна половине длины гипотенузы ($c$):

$m_c = \frac{c}{2}$

Из условия известно, что $m_c = 8,5$ см. Отсюда мы можем найти длину гипотенузы:

$c = 2 \cdot m_c = 2 \cdot 8,5 = 17$ см.

Теперь, зная длины гипотенузы и одного катета, мы можем найти длину второго катета по теореме Пифагора ($a^2 + b^2 = c^2$):

$b^2 = c^2 - a^2$

$b^2 = 17^2 - 15^2$

$b^2 = 289 - 225$

$b^2 = 64$

$b = \sqrt{64} = 8$ см.

Теперь, когда мы знаем длины обоих катетов ($a=15$ см и $b=8$ см), мы можем вычислить площадь треугольника:

$S = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 8 = \frac{120}{2} = 60$ см².

Ответ: 60 см².